дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Многочлен Тейлора Главы из учебника


Многочлен $ P(x)$, наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции $ f(x)$, мы сможем вместо сложного вычисления значений функции $ f(x)$ приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена $ P(x)$.

Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности $ E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ некоторой точки $ x_0\in\mathbb{R}$ и имеет всюду в окрестности $ E$ производные $ f^{(k)}(x)$ при $ k=1,2,\dots,n$. Многочленом Тейлора степени $ n$ в точке $ x_0$ называется такой многочлен $ P(x)$ степени $ n$, такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке $ x_0$, равны соответствующим значениям функции $ f(x)$ и её производных $ f^{(k)}(x)$ до порядка $ n$ в этой же точке:

$\displaystyle P^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0); k=0,1,2,\dots,n.$

Если это условие совпадения выполнено, то графики функций $ y=f(x)$ и $ y=P(x)$, по крайней мере при $ x$, близких к $ x_0$, будут идти весьма тесно друг к другу. Равенство

$\displaystyle P(x_0)=f(x_0)$

означает, что графики проходят через одну и ту же точку $ (x_0;f(x_0))$; равенство

$\displaystyle P'(x_0)=f'(x_0)$

означает, что эти графики имеют в этой общей точке совпадающие касательные (так как общее значение производной -- это общий угловой коэффициент касательной); равенство

$\displaystyle P''(x_0)=f''(x_0)$

означает, как мы убедимся ниже, что эти графики имеют в общей точке одинаковую кривизну, и т. д.

Для нахождения вида многочлена Тейлора для заданной функции сделаем сначала следующее замечание. Любой многочлен $ P(x)$ степени $ n$ вида

$\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

можно представить в виде, расположенном по степеням бинома $ (x-x_0)$:

$\displaystyle P(x)=a_0(x-x_0)^n+a'_1(x-x_0)^{n-1}+a'_2(x-x_0)^{n-2}+\ldots+a'_{n-1}(x-x_0) +a'_n, $

и наоборот, раскрыв скобки в последней формуле, мы можем получить многочлен по степеням $ x$.

Действительно, положив $ t=x-x_0$, мы можем подставить $ x=t+x_0$ в правую часть формулы $ P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$, раскрыть степени $ (t+x_0)^k$ при $ k=2,3,\dots,n$ по формуле бинома Ньютона, а потом привести подобные члены. Все коэффициенты $ a_i$ (кроме $ a_0$) и свободный член при этом изменятся на некоторые другие ($ a'_i$ в нашей формуле), но получится многочлен по степеням бинома $ x-x_0$, имеющий ту же степень $ n$.

Кривые и поверхности второго порядка

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

        Определение 12.1   Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка
$\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$ (12.1)

где $ a,\,b,\,c,\,d,\,f,\,g$ -- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел $ {a,\,b,\,c}$ отлично от нуля.         

Исследование уравнения (12.1) в общем виде проводится так же, как и для аналогичного уравнения в пространстве (поверхности второго порядка) и эти исследования удобно производить с помощью математического аппарата, который будет рассмотрен позже. Здесь же мы ограничимся констатацией того, что уравнение (12.1) в зависимости от коэффициентов может задавать только четыре типа кривых, а именно, окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Изучению этих кривых в "удобной" системе координат и посвящена данная глава.





 


Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды