дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Кольца Группы Алгебраические структуры

    Пример 16.4   Множество $ \mathfrak{G}$ из примера 16.1 с операцией "$ \propto$ " является группой. Проверка ассоциативности потребует просмотра 9 троек $ {(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto\mathfrak{a}}$ , $ {(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto \mathfrak{b}}$ и т.д. Роль элемента $ \mathfrak{e}$ выполняет элемент $ \mathfrak{a}$ . Обратные элементы: $ {\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , $ {\tilde\mathfrak{b}=\mathfrak{b}}$ .         

Векторы на прямой, плоскости, в пространстве с операцией сложения также образуют группу.

Во всех разобранных примерах операция "$ \propto$ " обладала свойством коммутативности: $ {\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b}=\mathfrak{b}\propto\mathfrak{a}}$ . Группа, в которой операция обладает таким свойством, называется коммутативной группой или абелевой группой по имени норвежского математика Н.Х.Абеля.

Если мы рассмотрим множество $ \mathfrak{G}$ , состоящее из квадратных матриц порядка $ n$ с ненулевым определителем и в качестве операции "$ \propto$ " возьмем умножение матриц, то получим группу. Роль элемента $ \mathfrak{e}$ выполняет единичная матрица $ E$ , и для элемента $ \mathfrak{a}$ , являющегося матрицей $ A$ , элементом $ \tilde\mathfrak{a}$ служит матрица $ A^{-1}$ . В этой группе, как мы видели в разделе "Умножение матриц", операция умножения некоммутативна. Такие группы называются некоммутативными.

В коммутативных группах операцию обычно называют операцией сложения и обозначают "$ +$ ", элемент $ \mathfrak{e}$ называют нулем группы и обозначают "0", хотя этот элемент, вообще говоря, числом не является. Элемент $ \tilde\mathfrak{a}$ называют противоположным элементу $ \mathfrak{a}$ и обозначают " $ -\mathfrak{a}$ ".

Если группа некоммутативная, то операцию называют умножением, $ \mathfrak{e}$ называют единицей группы, а элемент $ \tilde\mathfrak{a}$  -- обратным элементом к $ \mathfrak{a}$ и обозначают $ \mathfrak{a}^{-1}$ .

Исходя из требований к операции, данных в определении группы, можно доказать, что в любой группе элемент $ \mathfrak{e}$ только один, что для любого элемента $ \mathfrak{a}$ выполнено условие $ {\mathfrak{a}\mathfrak{e}= \mathfrak{e}\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , что элемент $ \tilde\mathfrak{a}$ для элемента $ \mathfrak{a}$ определяется однозначно и что $ {\tilde\mathfrak{a}\mathfrak{a}= \mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .

Теории групп посвящены обширные математические исследования. Они эффективно используются в различных областях математики. С помощью теории групп было, например, доказано, что корни многочлена степени выше четвертой нельзя выразить через конечную комбинацию элементарных функций от коэффициентов многочлена.

Кривые и поверхности второго порядка

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

        Определение 12.1   Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка
$\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$ (12.1)

где $ a,\,b,\,c,\,d,\,f,\,g$ -- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел $ {a,\,b,\,c}$ отлично от нуля.         

Исследование уравнения (12.1) в общем виде проводится так же, как и для аналогичного уравнения в пространстве (поверхности второго порядка) и эти исследования удобно производить с помощью математического аппарата, который будет рассмотрен позже. Здесь же мы ограничимся констатацией того, что уравнение (12.1) в зависимости от коэффициентов может задавать только четыре типа кривых, а именно, окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Изучению этих кривых в "удобной" системе координат и посвящена данная глава.





 


Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды