дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

   Пример 15.5   Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4... ... -5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$
Решение. Составляем расширенную матрицу системы:
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 2&-1&-1&-1&2&0\\ -5&7&1&10&-11&0\\ -1&5&-1&8&-7&0\end{array}\right).$
Умножим первую строку последовательно на $ (-2)$ , 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&12&-4&20&-16&0\\ 0&6&-2&10&-8&0\end{array}\right).$
Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам. Получим матрицу
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{array}\right).$
Прямой ход метода Гаусса закончен. У полученной матрицы легко определить ранг, ее базисный минор $ \left\vert\begin{array}{rr}1&1\\ 0&-3\end{array}\right\vert$ . Отсюда следует, что $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*_2=2}$ . По  теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе равно разности между числом неизвестных и рангом матрицы, в нашем случае фундаментальная система состоит из трех решений.
Переходим к системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5&0,\\ -3x_2+x_3-5x_4+4x_5&0.\end{array}\right.$
Неизвестные $ x_1$ и $ x_2$ оставляем в левой части, остальные переносим в правую часть:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}x_1+x_2&x_3-2x_4+x_5,\\ -3x_2&-x_3+5x_4-4x_5.\end{array}\right.$
Положим $ {x_3=1}$ , $ {x_4=x_5=0}$ . Получим $ {x_2=\frac13}$ , $ {x_1=\frac23}$ . Первое решение из фундаментальной системы: $ {x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}\frac23\\ \vphantom{\dfrac11}\frac13\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$ .
Положим $ {x_3=x_5=0}$ , $ {x_4=1}$ . Получим $ {x_2=-\frac53}$ , $ {x_1=-\frac13}$ . Второе решение из фундаментальной системы решений: $ {x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}-\frac53\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ .
Положим $ {x_3=x_4=0}$ , $ {x_5=1}$ . Получим $ {x_2=\frac43}$ , $ {x_1=-\frac13}$ . Третье решение из фундаментальной системы решений: $ {x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ . Фундаментальная система решений найдена. Общее решение имеет вид
$\displaystyle x=C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+C_3x^{(3)}.$
Ответ: Фундаментальная система решений:
$ {x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}\frac23\\ \vphantom{\dfrac11}\frac13\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$ , $ {x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}-\frac53\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ , $ {x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ , общее решение: $ {\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)=C_1 \lef... ...frac11}-\frac13\\ \vphantom {\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ .         
        Замечание 15.7   Если решения, составляющие фундаментальную систему, умножить на любые ненулевые числа, то вновь полученные решения снова будут образовывать фундаментальную систему. Поэтому в предыдущем примере фундаментальную систему образуют и такие решения:
$ \hat x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ 3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ , $ \hat x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}-1\\ -5\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ , $ \hat x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}-1\\ 4\\ 0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ . Общее решение можно записать так: $ \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)= C_1\left... ...d{array}\right)+C_3 \left(\begin{array}{r}-1\\ 4\\ 0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ .         
 

Кривые и поверхности второго порядка

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

        Определение 12.1   Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка
$\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$ (12.1)

где $ a,\,b,\,c,\,d,\,f,\,g$ -- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел $ {a,\,b,\,c}$ отлично от нуля.         

Исследование уравнения (12.1) в общем виде проводится так же, как и для аналогичного уравнения в пространстве (поверхности второго порядка) и эти исследования удобно производить с помощью математического аппарата, который будет рассмотрен позже. Здесь же мы ограничимся констатацией того, что уравнение (12.1) в зависимости от коэффициентов может задавать только четыре типа кривых, а именно, окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Изучению этих кривых в "удобной" системе координат и посвящена данная глава.





 


Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды