дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Правило Лопиталя


  Теорема 5.7 (Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших)   Пусть $ f(x)\to\infty$ и $ g(x)\to\infty$ при $ x\to x_0$ и в некоторой проколотой окрестности $ E=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$, существуют производные $ f'(x)$ и $ g'(x)$. Тогда, если существует предел отношения этих производных
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L,$
то существует и предел отношения самих функций, равный тому же числу:
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

        Доказательство.     За полным доказательством этого утверждения мы отсылаем к книгам [Никольский С. М., Курс математического анализа. Том 1. -- М.: Наука, 1990. -- С. 200 - 201] или [Смирнов В. И., Курс высшей математики. Том 1. -- М.: Наука, 1974. -- С. 157 - 158]. Здесь же мы докажем, что оба предела совпадают, в предположении, что второй из них существует и оба не равны 0. Итак, пусть

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=M,$

где $ M$ -- некоторое число. Докажем, что тогда $ M=L$.

Рассмотрим вспомогательные функции $ {f_1(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{f(x)},&\mbox{ при }x\in E;\\ 0,&\mbox{ при }x=x_0, \end{array}\right.}$ и $ {g_1(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{g(x)},&\mbox{ при }x\in E;\\ 0,&\mbox{ при }x=x_0. \end{array}\right.}$

Тогда функции $ f_1(x)$ и $ g_1(x)$ -- бесконечно малые при $ x\to x_0$, непрерывные при $ x=x_0$; их производные таковы:

$\displaystyle f_1'(x)=-\dfrac{f'(x)}{(f(x))^2};\quad g_1'(x)=-\dfrac{g'(x)}{(g(x))^2}.$

Заметим теперь, что при $ x\in E$

$\displaystyle \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{g_1(x)}{f_1(x)}$(5.3)
 


и

$\displaystyle \dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'_1(x)(f(x))^2}{g'_1(x)(g(x))^2}= \dfrac{f_1'(x)}{g_1'(x)}\cdot\dfrac{1}{\left(\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}\right)^2}.$(5.4)
 


Из равенства (5.3) получаем, что $ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=\dfrac{1}{M}$. Переходя к пределу в равенстве (5.4), получаем:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f_1'(x)}{g_1'(x)}=\dfrac{L}{M^2}.$

С другой стороны, применяя правило Лопиталя ( теорема 5.5) к бесконечно малым функциям $ f_1(x)$ и $ g_1(x)$, получим:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}= \lim_{x\to x_0}\dfrac{f_1'(x)}{g_1'(x)},$

откуда

$\displaystyle \dfrac{1}{M}=\dfrac{L}{M^2}.$

Из этого равенства следует, что $ M=L$, что и требовалось доказать.     

        Замечание 5.7   Немного изменив доказательство, мы получим, что правило Лопиталя для отношения двух бесконечно больших верно для односторонних пределов (при базах $ x\to x_0-$ и $ x\to x_0+$); сделав замену $ z=\frac{1}{x}$, выведем, что оно верно для пределов при базах $ x\to\infty$, $ x\to+\infty$ и $ x\to-\infty$ (аналогично тому, как теорема 5.6 была выведена из теоремы 5.5).     
        Замечание 5.8   Как и в основном случае отношения двух бесконечно малых при $ x\to x_0$, все остальные варианты правила Лопиталя не универсальны: если предел отношения производных не существует, то это ещё не означает, что нет предела отношения исходных величин.     

Приведём ещё один пример, иллюстрирующий это важное замечание.

        Пример 5.5   Рассмотрим при $ x\to\infty$ две бесконечно больших: $ f(x)=x+\sin x$ и $ g(x)=x$. Предел их отношения, очевидно, существует:
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}= \lim_{x\to\infty}(1+\dfrac{1}{x}\cdot\sin x)=1+0=1;$
в то же время отношение производных даёт
$\displaystyle \dfrac{(x+\sin x)'}{x'}=\dfrac{1+\cos x}{1}=1+\cos x,$
а эта функция не имеет никакого предела при $ x\to\infty$. Следовательно, для вычисления предела
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}$
правило Лопиталя неприменимо.     

Несмотря на свою неуниверсальность, правило Лопиталя служит весьма мощным средством нахождения сложных пределов. При этом иной раз приходится применять это правило много раз подряд, пока не получим предел, значение которого либо очевидно, либо может быть вычислено каким-либо способом, изученным нами ранее (например, с помощью замены на эквивалентные бесконечно малые).

        Пример 5.6   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$. (Это предел отношения двух бесконечно малых. Заметим, что $ \sin x$ не является множителем, так что его нельзя заменить на эквивалентную величину $ x$; если бы мы всё же сделали это, то сразу получили бы в числителе 0, и "ответ" равнялся бы 0.) Применим правило Лопиталя и получим, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2},$
в предположении, что последний предел существует. Этот последний предел можно найти, заметив, что $ \cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}$ при $ x\to0$, и заменив числитель. Однако можно пойти и другим путём. Мы снова получили отношение двух бесконечно малых, к которому снова применим правило Лопиталя:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}= \lim\limits_{x\to0}\d... ...c{-\sin x}{6x}= -\frac{1}{6}\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=-\frac{1}{6},$
поскольку $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (это первый замечательный предел).
Итак, обоснование результата таково:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\cos x-1)'}{(3x^2)'}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{-\sin x}{6x}= -\frac{1}{6},$
откуда по теореме 5.5
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}=-\frac{1}{6},$
то есть
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}=-\frac{1}{6},$
откуда, в свою очередь, снова по теореме 5.5
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}.$
Как правило, при вычислениях эти рассуждения "обратного хода" не приводят в явной форме для экономии места, но, строго говоря, их всегда нужно иметь в виду, когда после цепочки переходов по правилу Лопиталя мы получаем какой-либо ответ к исходному примеру на вычисление предела.     

 

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

 

  Определение 3.4   Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на множестве $ A\sbs\mathcal{D}(f)$, если
$ \forall\ x_0\in A\ \exists\ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)^A}f(x)=f(x_0)).$     

Нетрудно видеть, что тогда при $ A=(a;b)$ и при $ A=[a;b]$ это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

        Теорема 3.5   Пусть $ f(x)$ и $ g(x)$ -- функции и $ I$ -- интервал или отрезок, лежащий в $ \mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)$. Пусть $ f$ и $ g$ непрерывны на $ I$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непpеpывны на $ I$. Если вдобавок $ g(x)\ne0$ пpи всех $ x\in I$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непpеpывна на $ I$.     

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

        Предложение 3.4   Множество $ \mathcal{C}_I$ всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке $ I\sbs\mathbb{R}$ -- это линейное пpостpанство:
$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_I;C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_I.$
    

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции)   Пусть функция $ f$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём $ f(a)$ и $ f(b)$ -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что $ f(a)<0$, а $ f(b)>0$.) Тогда существует хотя бы одно такое значение $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=0$ (то есть существует хотя бы один корень $ x_0$ уравнения $ f(x)=0$).

        Доказательство.     Рассмотрим середину отрезка $ c_1=\dfrac{a+b}{2}$. Тогда либо $ {f(c_1)=0}$, либо $ f(c_1)<0$, либо $ f(c_1)>0$. В первом случае корень найден: это $ x_0=c_1$. В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция $ f$ принимает значения разных знаков: $ [c_1;b]$ в случае $ f(c_1)<0$ или $ [a;c_1]$ в случае $ f(c_1)>0$. Выбранную половину отрезка обозначим через $ [a_1;b_1]$ и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины $ [a_1;c_2]$ и $ [c_2;b_1]$, где $ c_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$, и найдём $ f(c_2)$. В случае $ f(c_2)=0$ корень найден; в случае $ f(c_2)<0$ рассматриваем далее отрезок $ [a_2;b_2]=[c_2;b_1]$, в случае $ f(c_2)>0$ -- отрезок $ [a_2;b_2]=[a_1;c_2]$ и т. д.

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды