дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

 

Систему неоднородных уравнений запишем в матричном виде $ {Ax=b}$ , где матрица $ A$ имеет размеры $ {m\times n}$ .

        Предложение 15.4   Пусть $ c$ и $ d$  -- решения неоднородной системы $ {Ax=b}$ . Тогда их разность $ {g=c-d}$ является решением однородной системы с той же матрицей, то есть решением системы $ {Ax=0}$ .

        Доказательство.     По условию $ {Ac=b}$ и $ {Ad=b}$ . Тогда

$\displaystyle Ag=A(c-d)=Ac-Ad=b-b=0.$

Так как $ {Ag=0}$ , то $ g$  -- решение однородной системы.     

        Предложение 15.5   Пусть $ c$  -- решение неоднородной системы $ {Ax=b}$ , $ g$  -- любое решение однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {d=c+g}$  -- решение неоднородной системы.    

Доказательство предоставляется читателю.

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Определение 15.7   Пусть $ x^{(0)}$  -- некоторое решение неоднородной системы линейных уравнений $ {Ax=b}$ , $ z$  -- общее решение однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда выражение $ {x=x^{(0)}+z}$ называется общим решением неоднородной системы.         

Учитывая запись общего решения однородной системы через фундаментальную систему ее решений $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ , получаем для общего решения неоднородной системы формулу

$\displaystyle x=x^{(0)}+C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)}.$

Из двух последних предложений следует, что любое решение неоднородной системы может быть получено из общего решения при некоторых числовых значениях коэффициентов $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ .

        Теорема 15.4   Система линейных уравнений $ {Ax=b}$ может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений.

        Доказательство.     Пусть система имеет решение $ x^{(0)}$ . Если однородная система $ {Ax=0}$ имеет только одно решение, то из формулы общего решения будет следовать, что $ x^{(0)}$  -- единственное решение неоднородной системы. Если однородная система имеет хотя бы одно ненулевое решение, то ее фундаментальная система решений будет состоять не менее, чем из одного решения. В формуле общего решения неоднородной системы будет произвольный коэффициент $ C_1$ , и при различных его значениях мы будем получать различные решения неоднородной системы.     

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

 

  Определение 3.4   Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на множестве $ A\sbs\mathcal{D}(f)$, если
$ \forall\ x_0\in A\ \exists\ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)^A}f(x)=f(x_0)).$     

Нетрудно видеть, что тогда при $ A=(a;b)$ и при $ A=[a;b]$ это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

        Теорема 3.5   Пусть $ f(x)$ и $ g(x)$ -- функции и $ I$ -- интервал или отрезок, лежащий в $ \mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)$. Пусть $ f$ и $ g$ непрерывны на $ I$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непpеpывны на $ I$. Если вдобавок $ g(x)\ne0$ пpи всех $ x\in I$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непpеpывна на $ I$.     

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

        Предложение 3.4   Множество $ \mathcal{C}_I$ всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке $ I\sbs\mathbb{R}$ -- это линейное пpостpанство:
$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_I;C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_I.$
    

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции)   Пусть функция $ f$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём $ f(a)$ и $ f(b)$ -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что $ f(a)<0$, а $ f(b)>0$.) Тогда существует хотя бы одно такое значение $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=0$ (то есть существует хотя бы один корень $ x_0$ уравнения $ f(x)=0$).

        Доказательство.     Рассмотрим середину отрезка $ c_1=\dfrac{a+b}{2}$. Тогда либо $ {f(c_1)=0}$, либо $ f(c_1)<0$, либо $ f(c_1)>0$. В первом случае корень найден: это $ x_0=c_1$. В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция $ f$ принимает значения разных знаков: $ [c_1;b]$ в случае $ f(c_1)<0$ или $ [a;c_1]$ в случае $ f(c_1)>0$. Выбранную половину отрезка обозначим через $ [a_1;b_1]$ и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины $ [a_1;c_2]$ и $ [c_2;b_1]$, где $ c_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$, и найдём $ f(c_2)$. В случае $ f(c_2)=0$ корень найден; в случае $ f(c_2)<0$ рассматриваем далее отрезок $ [a_2;b_2]=[c_2;b_1]$, в случае $ f(c_2)>0$ -- отрезок $ [a_2;b_2]=[a_1;c_2]$ и т. д.

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды