дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

  Теорема 5.4 (Коши)   Пусть функции $ {\varphi}(t)$ и $ \psi(t)$ дифференцируемы на интервале $ ({\alpha};{\beta})$ и непрерывны при $ t={\alpha}$ и $ t={\beta}$, причём $ {\varphi}'(t)\ne0$ при всех $ t\in({\alpha};{\beta})$. Тогда в интервале $ ({\alpha};{\beta})$ найдётся такая точка $ t_0$, что
$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$
        Доказательство.     Докажем сначала, что $ {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})\ne0$, то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:
$\displaystyle {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})={\varphi}'({\gamma})({\beta}-{\alpha}),$
при некотором $ {\gamma}\in({\alpha};{\beta})$. Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.
Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию
$\displaystyle \eta(t)=\psi(t)-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} ({\varphi}(t)-{\varphi}({\alpha})).$
Функция $ \eta(t)$, очевидно, является дифференцируемой при всех $ t\in({\alpha};{\beta})$ и непрерывной в точках $ {\alpha}$ и $ {\beta}$, поскольку этими свойствами обладают функции $ {\varphi}$ и $ \psi$. Кроме того, очевидно, что при $ t={\alpha}$ получается $ \eta({\alpha})=0$. Покажем, что и $ \eta({\beta})=0$:
$\displaystyle \eta({\beta})=\psi({\beta})-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\... ...hi}({\alpha}))= \psi({\beta})-\psi({\alpha})-(\psi({\beta})-\psi({\alpha}))=0.$
Значит, функция $ \eta(t)$ удовлетворяет на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$ условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка $ t_0\in({\alpha};{\beta})$, что $ \eta'(t_0)=0$.
Вычислим теперь производную функции $ \eta(t)$:
$\displaystyle \eta'(t)=\psi'(t)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} {\varphi}'(t).$
Получаем, что
$\displaystyle 0=\eta'(t_0)=\psi'(t_0)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} {\varphi}'(t_0),$
откуда получаем утверждение теоремы:
$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$
    
        Замечание 5.4   Можно считать функции $ x={\varphi}(t)$ и $ y=\psi(t)$ координатами движущейся на плоскости $ xOy$ точки, которая описывает линию $ L$, соединяющую начальную точку $ ({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ с конечной точкой $ ({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$. (Тогда уравнения $ x={\varphi}(t)$ и $ y=\psi(t)$ параметрически задают некоторую зависимость $ y(x)$, графиком которой служит линия $ L$.)
Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой

Отношение $ \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}$, как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $ ({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ и $ ({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$. В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$. Значит, дробь $ \dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}(t_0)}$ -- это угловой коэффициент касательной к линии $ L$ в некоторой точке $ ({\varphi}(t_0);\psi(t_0))\in L$. Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии $ L$ найдётся точка, такая что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это -- то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия $ L$ была задана явной зависимостью $ y=f(x)$, а в теореме Коши -- зависимостью, заданной в параметрической форме.     

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

 

  Определение 3.4   Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на множестве $ A\sbs\mathcal{D}(f)$, если
$ \forall\ x_0\in A\ \exists\ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)^A}f(x)=f(x_0)).$     

Нетрудно видеть, что тогда при $ A=(a;b)$ и при $ A=[a;b]$ это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

        Теорема 3.5   Пусть $ f(x)$ и $ g(x)$ -- функции и $ I$ -- интервал или отрезок, лежащий в $ \mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)$. Пусть $ f$ и $ g$ непрерывны на $ I$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непpеpывны на $ I$. Если вдобавок $ g(x)\ne0$ пpи всех $ x\in I$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непpеpывна на $ I$.     

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

        Предложение 3.4   Множество $ \mathcal{C}_I$ всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке $ I\sbs\mathbb{R}$ -- это линейное пpостpанство:
$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_I;C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_I.$
    

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции)   Пусть функция $ f$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём $ f(a)$ и $ f(b)$ -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что $ f(a)<0$, а $ f(b)>0$.) Тогда существует хотя бы одно такое значение $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=0$ (то есть существует хотя бы один корень $ x_0$ уравнения $ f(x)=0$).

        Доказательство.     Рассмотрим середину отрезка $ c_1=\dfrac{a+b}{2}$. Тогда либо $ {f(c_1)=0}$, либо $ f(c_1)<0$, либо $ f(c_1)>0$. В первом случае корень найден: это $ x_0=c_1$. В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция $ f$ принимает значения разных знаков: $ [c_1;b]$ в случае $ f(c_1)<0$ или $ [a;c_1]$ в случае $ f(c_1)>0$. Выбранную половину отрезка обозначим через $ [a_1;b_1]$ и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины $ [a_1;c_2]$ и $ [c_2;b_1]$, где $ c_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$, и найдём $ f(c_2)$. В случае $ f(c_2)=0$ корень найден; в случае $ f(c_2)<0$ рассматриваем далее отрезок $ [a_2;b_2]=[c_2;b_1]$, в случае $ f(c_2)>0$ -- отрезок $ [a_2;b_2]=[a_1;c_2]$ и т. д.

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды