Четыре теоремы о дифференцируемых функциях Замечания

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

Первая теорема имеет вспомогательный характер для дальнейшего, хотя важна и сама по себе.

Пусть функция определена на некотором множестве $\mathcal{D}$ , и $E\sbs\mathcal{D}$ . Назовём точку $x_0\in E$ точкой максимума функции на множестве , если при всех $x\in E$ выполняется неравенство $f(x)\leqslant f(x_0)$ , и точкой минимума, если при всех $x\in E$ выполняется неравенство $f(x)\geqslant f(x_0)$ .

Точка , являющаяся либо точкой максимума, либо точкой минимума, называется точкой экстремума.

Теорема 5.1 (Ферма) Пусть функция имеет на множестве точку экстремум а ${x_0\in E}$ , причём множество содержит некоторую ${\delta}$ -окрестность ${E_{{\delta}}=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$ точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует.

Рис.5.1.Поведение функции в окрестности точки экстремума

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Замечание 5.1 Заметим, что условие

означает, что тангенс угла ${\alpha}$ наклона касательной к графику

, проведённой при

, равен 0. Отсюда ${{\alpha}=0}$ , то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).

Доказательство теоремы Ферма. Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная существует. Рассмотрим два случая.

Пусть функция имеет в точке максимум. Тогда ${\Delta}f=f(x)-f(x_0)\leqslant 0$ при всех $x\in E_{{\delta}}$ , поскольку $f(x)\leqslant f(x_0)$ . Если взять $x>x_0, x\in E_{{\delta}}$ , то ${\Delta}x=x-x_0>0$ , и поэтому $\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$ . При вычислении производной мы переходим к пределу при ${\Delta}x\to0$ в этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$

Аналогично, при $x<x_0, x\in E_{{\delta}}$ , ${\Delta}x=x-x_0<0$ , и поэтому $\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$ . Отсюда, вычисляя предел слева, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$

Итак, выполняются два неравенства: $f'(x_0)\leqslant 0$ и $f'(x_0)\geqslant 0$ , что возможно лишь при

Пусть теперь функция имеет в точке минимум. Тогда ${\Delta}f=f(x)-f(x_0)\geqslant 0$ при всех $x\in E_{{\delta}}$ , поскольку $f(x)\geqslant f(x_0)$ . Если взять $x>x_0, x\in E_{{\delta}}$ , то ${\Delta}x=x-x_0>0$ , и поэтому $\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$ . Переходя к пределу при ${\Delta}x\to0+$ в разностном отношении, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$

Аналогично, при $x<x_0, x\in E_{{\delta}}$ , ${\Delta}x=x-x_0<0$ , и поэтому $\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$ . Вычисляя предел слева, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$

Из неравенств $f'(x_0)\geqslant 0$ и $f'(x_0)\leqslant 0$ получаем, что

Определение 3.4 Назовём функцию

непрерывной на множестве $A\sbs\mathcal{D}(f)$ , если
$\forall\ x_0\in A\ \exists\ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)^A}f(x)=f(x_0)).$

Нетрудно видеть, что тогда при и при это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

Теорема 3.5 Пусть и -- функции и -- интервал или отрезок, лежащий в $\mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)$ . Пусть и непрерывны на . Тогда функции , , непpеpывны на . Если вдобавок $g(x)\ne0$ пpи всех $x\in I$ , то функция $h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непpеpывна на .

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

Предложение 3.4 Множество $\mathcal{C}_I$ всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке $I\sbs\mathbb{R}$ -- это линейное пpостpанство:

$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_I;C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_I.$

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке , причём и -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что , а .) Тогда существует хотя бы одно такое значение $x_0\in(a;b)$ , что (то есть существует хотя бы один корень уравнения ).

Доказательство. Рассмотрим середину отрезка $c_1=\dfrac{a+b}{2}$ . Тогда либо ${f(c_1)=0}$ , либо , либо . В первом случае корень найден: это . В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция принимает значения разных знаков: в случае или в случае . Выбранную половину отрезка обозначим через и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины и , где $c_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$ , и найдём . В случае корень найден; в случае рассматриваем далее отрезок , в случае -- отрезок и т. д.

Вычисление интегралов методом Монте-Карло Дифференцирование \| Интегрирование \| Применение интегралов \| Вычисление интегралов \| Неопределенный интеграл \| На главную
Определенные интегралы \| Степенные ряды \| Комплексные числа \| Понятие комплексного числа Матрицы \| Предел функции Функции нескольких переменных и их дифференцирование Направляющие линии и сетка Adobe Illustrator Матрицы и определители

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

Непрерывность функции на интервале и на отрезке