дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Интегрирование и дифференцирование, Примеры и упражнения


Пример 4.25 Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.
Данная функция-- композиция функции $ y=\cos u$ и линейной функции $ u=2x+\dfrac{\pi}{4}$. По формуле производной композиции получаем:
$\displaystyle y'_x=y'_uu'_x=-\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})(2x+\dfrac{\pi}{4})'= -\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})\cdot2=-2\sin(2x+\dfrac{\pi}{4}).$
Пример 4.26 Найдём производную функции $ y=\dfrac{2x^2-1}{2x^2+1}$.
Применим формулу для производной частного: $ (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$. В нашем случае $ u=2x^2-1$ и $ v=2x^2+1$. Получим:
$\displaystyle y'=\dfrac{(2x^2-1)'(2x^2+1)-(2x^2+1)'(2x^2-1)}{(2x^2+1)^2}= \dfrac{4x(2x^2+1)-4x(2x^2-1)}{(2x^2+1)^2}=\dfrac{8x}{(2x^2+1)^2}.$
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.
Пример 4.27 Найдём производную функции $ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$.
Наша функция имеет вид $ y=(\sin((\ln(x^2+4))^3))^2$, так что самой внешней является степенная функция $ y=u^2$, где $ u=\sin\ln^3(x^2+4)$. Затем следуют промежуточные функции $ v=(\ln(x^2+4))^3$, $ z=\ln(x^2+4)$, $ w=x^2+4$. В итоге имеем композицию $ y=u^2,\; u=\sin v,\; v=z^3,\; z=\ln w,\; w=x^2+4$. Последовательно пользуясь формулой производной композиции, получаем:
$\displaystyle y'_x=y'_u\cdot u'_v\cdot v'_z\cdot z'_w\cdot w'_x,$
или
$\displaystyle y'_x=2u\cdot\cos v\cdot3z^2\cdot\dfrac{1}{w}\cdot2x,$
или
\begin{multline*} y'_x=2\sin\ln^3(x^2+4)\cdot\cos\ln^3(x^2+4)\cdot3\ln^2(x^2+4)... ...+4)}{x^2+4}= \dfrac{6x\ln^2(x^2+4)\sin(2\ln^3(x^2+4))}{x^2+4}. \end{multline*}

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

 

  Определение 3.4   Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на множестве $ A\sbs\mathcal{D}(f)$, если
$ \forall\ x_0\in A\ \exists\ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)^A}f(x)=f(x_0)).$     

Нетрудно видеть, что тогда при $ A=(a;b)$ и при $ A=[a;b]$ это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

        Теорема 3.5   Пусть $ f(x)$ и $ g(x)$ -- функции и $ I$ -- интервал или отрезок, лежащий в $ \mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)$. Пусть $ f$ и $ g$ непрерывны на $ I$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непpеpывны на $ I$. Если вдобавок $ g(x)\ne0$ пpи всех $ x\in I$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непpеpывна на $ I$.     

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

        Предложение 3.4   Множество $ \mathcal{C}_I$ всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке $ I\sbs\mathbb{R}$ -- это линейное пpостpанство:
$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_I;C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_I.$
    

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции)   Пусть функция $ f$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём $ f(a)$ и $ f(b)$ -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что $ f(a)<0$, а $ f(b)>0$.) Тогда существует хотя бы одно такое значение $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=0$ (то есть существует хотя бы один корень $ x_0$ уравнения $ f(x)=0$).

        Доказательство.     Рассмотрим середину отрезка $ c_1=\dfrac{a+b}{2}$. Тогда либо $ {f(c_1)=0}$, либо $ f(c_1)<0$, либо $ f(c_1)>0$. В первом случае корень найден: это $ x_0=c_1$. В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция $ f$ принимает значения разных знаков: $ [c_1;b]$ в случае $ f(c_1)<0$ или $ [a;c_1]$ в случае $ f(c_1)>0$. Выбранную половину отрезка обозначим через $ [a_1;b_1]$ и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины $ [a_1;c_2]$ и $ [c_2;b_1]$, где $ c_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$, и найдём $ f(c_2)$. В случае $ f(c_2)=0$ корень найден; в случае $ f(c_2)<0$ рассматриваем далее отрезок $ [a_2;b_2]=[c_2;b_1]$, в случае $ f(c_2)>0$ -- отрезок $ [a_2;b_2]=[a_1;c_2]$ и т. д.

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды