дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Правило Крамера Теория и примеры

Рассмотрим частный случай системы линеных уравнений (15.1), когда $ {m=n}$ , то есть когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Именно такие системы при $ {n=2}$ или $ {n=3}$ рассматриваются в школе.

Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица $ A$ исходной системы -- квадратная, порядка $ n$ , $ x$ и $ b$  -- столбцы высоты $ n$ . Предположим, что $ \vert A\vert\ne0$ . Тогда по теореме 14.1 существует обратная матрица. Умножив слева обе части равенства  (15.2) на $ A^{-1}$ , получим

$\displaystyle A^{-1}Ax=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad Ex=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad x=A^{-1}b.$

Таким образом, система уравнений (15.1) имеет единственное решение и оно в матричной форме может быть записано в виде

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

$\displaystyle x=A^{-1}b.$(15.3)
 


Это так называемый матричный способ решения системы линейных уравнений.

Введем следующие обозначения. Пусть $ {{\Delta}=\vert A\vert}$ , $ {\Delta}_i$  -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ A$ заменой столбца с номером $ i$ на столбец $ b$ свободных членов, $ {i=1,2,\dots,n}$ :

\begin{multline*} {\Delta}_1=\left\vert\begin{array}{cccc}b_{1}&a_{12}&\dots&a_... ...dotsfor{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&b_{n}\end{array}\right\vert. \end{multline*}
        Теорема 15.1   (Правило Крамера) Если в системе $ n$ линейных уравнений с $ n$ неизвестными $ {\Delta}\ne0$ , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами
$\displaystyle x_1=\frac{{\Delta}_1}{{\Delta}},\quad x_2=\frac{{\Delta}_2}{{\Delta}},\quad \dots,\quad x_n=\frac{{\Delta}_n}{{\Delta}}.$

        Доказательство.     По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле

$\displaystyle A^{-1}=\frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\do... ...\dots&A_{n2}\\ \hdotsfor{4}\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{array}\right),$

где $ A_{ij}$ -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

$\displaystyle x= \frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\dots&... ..._n\\ \hdotsfor{1}\\ A_{1n}b_1+A_{2n}b_2+\ldots+A_{nn}b_n\end{array}\right).$

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя $ {\Delta}_1$ по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя $ {\Delta}_2$ по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому $ {x=\dfrac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{c}{\Delta}_1\\ {\Delta}_2\\ \vdots\\ {\Delta}_n\end{array}\right)}$ , откуда и следует утверждение теоремы.     

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

 

  Определение 3.4   Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на множестве $ A\sbs\mathcal{D}(f)$, если
$ \forall\ x_0\in A\ \exists\ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)^A}f(x)=f(x_0)).$     

Нетрудно видеть, что тогда при $ A=(a;b)$ и при $ A=[a;b]$ это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

        Теорема 3.5   Пусть $ f(x)$ и $ g(x)$ -- функции и $ I$ -- интервал или отрезок, лежащий в $ \mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)$. Пусть $ f$ и $ g$ непрерывны на $ I$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непpеpывны на $ I$. Если вдобавок $ g(x)\ne0$ пpи всех $ x\in I$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непpеpывна на $ I$.     

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

        Предложение 3.4   Множество $ \mathcal{C}_I$ всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке $ I\sbs\mathbb{R}$ -- это линейное пpостpанство:
$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_I;C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_I.$
    

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции)   Пусть функция $ f$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём $ f(a)$ и $ f(b)$ -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что $ f(a)<0$, а $ f(b)>0$.) Тогда существует хотя бы одно такое значение $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=0$ (то есть существует хотя бы один корень $ x_0$ уравнения $ f(x)=0$).

        Доказательство.     Рассмотрим середину отрезка $ c_1=\dfrac{a+b}{2}$. Тогда либо $ {f(c_1)=0}$, либо $ f(c_1)<0$, либо $ f(c_1)>0$. В первом случае корень найден: это $ x_0=c_1$. В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция $ f$ принимает значения разных знаков: $ [c_1;b]$ в случае $ f(c_1)<0$ или $ [a;c_1]$ в случае $ f(c_1)>0$. Выбранную половину отрезка обозначим через $ [a_1;b_1]$ и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины $ [a_1;c_2]$ и $ [c_2;b_1]$, где $ c_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$, и найдём $ f(c_2)$. В случае $ f(c_2)=0$ корень найден; в случае $ f(c_2)<0$ рассматриваем далее отрезок $ [a_2;b_2]=[c_2;b_1]$, в случае $ f(c_2)>0$ -- отрезок $ [a_2;b_2]=[a_1;c_2]$ и т. д.

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды