дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Матрицы Ранг матрицы Алгоритм нахождения ранга матрицы

Пусть требуется вычислить ранг матрицы $ A$ размеров $ m\times n$ . Если матрица $ A$ нулевая, то по определению $ {{\rm Rg}A=0}$ . В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что $ {a_{11}\ne0}$ .

Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . В результате вторая строка принимает вид

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0&a_{22}^{(1)}&\dots&a_{2n}^{(1)}\end{array}\right).$

Затем к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\right)$ . В результате третья строка принимает вид

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0&a_{32}^{(1)}&\dots&a_{3n}^{(1)}\end{array}\right).$

Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке.

Преобразованная матрица имеет вид

$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ots&\dots\\ 0&a_{m2}^{(1)}&a_{m3}^{(1)}&\dots&a_{mn}^{(1)}\end{array}\right).$

Если все строки, начиная со второй, в полученной матрице нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть минор первого порядка, отличный от нуля $ a_{11}$ . В противном случае перестановкой строк и столбцов матрицы с номерами, большими единицы, добиваемся, чтобы второй элемент второй строки был отличен от нуля. Итак, считаем, что $ {a_{22}^{(1)}\ne0}$ .

Первую и вторую строки оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{32}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}\right)$ . В результате получим, что второй элемент третьей строки равен нулю. Затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{42}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}\right)$ , и т.д. В результате получаем матрицу

$\displaystyle A^{(2)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ts&\dots&\dots&\dots\\ 0&0&a_{m3}^{(2)}&\dots&a_{mn}^{(2)}\end{array}\right).$

Если все строки, начиная с третьей, нулевые, то $ {{\rm Rg}A^{(2)}=2}$ , так как минор $ {\left\vert\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\ 0&a_{22}^{(1)}\end{array}\right\vert=a_{11}a_{22}^{(1)}\ne0}$ . В противном случае перестановкой строк и столбцов с номерами, большими двух, добиваемся, чтобы третий элемент третьей строки был отличен от нуля. Далее, добавлением третьей строки, умноженной на соответствующие числа, к строкам с большими номерами получаем нули в третьем столбце, начиная с четвертого элемента, и т.д.

На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, начиная с $ {(r+1)}$-ой , равны нулю (или отсутствуют при $ {r=m\leqslant n}$ ), а минор в первых $ r$ строках и первых $ r$ столбцах является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на диагонали. Ранг такой матрицы равен $ r$ . Следовательно, $ {{\rm Rg}A=r}$ .     

        Замечание 14.15   В предложенном алгоритме нахождения ранга матрицы все вычисления должны производиться без округлений. Сколь угодно малое изменение хотя бы в одном из элементов промежуточных матриц может привести к тому, что полученный ответ будет отличаться от ранга исходной матрицы на несколько единиц.         
        Замечание 14.16   Если в исходной матрице элементы были целыми числами, то и вычисления удобно производить без использования дробей. Поэтому на каждом этапе целесообразно умножать строки на такие числа, чтобы при вычислениях дроби не возникали.         
        Пример 14.12   Найдите ранг матрицы $ A=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 3&1&4&-1\\ 5&9&-13.5&1\\ 3&5&-7&1\end{array}\right)$ .
Решение. Первую строку оставляем без изменений. Чтобы избежать появления дробей, умножим вторую, третью и четвертую строки на 2:
$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 6&2&8&-2\\ 10&18&-27&2\\ 6&10&-14&2\end{array}\right).$
Первую строку умножим на $ (-3)$ и прибавим ко второй. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&-4&11&-2\end{array}\right)}$ . Первую строку умножим на $ (-5)$ и прибавим к третьей. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&8&-22&2\end{array}\right)}$ . Первую строку умножим на $ (-3)$ и прибавим к четвертой. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&4&-11&2\end{array}\right)}$ . В итоге имеем матрицу
$\displaystyle A^{(2)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 0&-4&11&-2\\ 0&8&-22&2\\ 0&4&-11&2\end{array}\right).$
Вторую строку оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 2. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&-2\end{array}\right)}$ . К четвертой строке прибавляем вторую. Получим нулевую строку. Преобразованная матрица имеет вид
$\displaystyle A^{(3)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 0&-4&11&-2\\ 0&0&0&-2\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Поменяем местами третий и четвертый столбцы:
$\displaystyle A^{(4)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&0&-1\\ 0&-4&-2&11\\ 0&0&-2&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Базисный минор матрицы $ A^{(4)}$ стоит в первых трех столбцах и первых трех строках, $ {{\rm Rg}A^{(4)}=3}$ . Следовательно, $ {{\rm Rg}A=3}$ .         
        Замечание 14.17   В приведенном примере вычисления были бы проще, если сначала четвертый столбец сделать первым и четвертую строку сделать первой. Но для того, чтобы догадаться об этом, нужно анализировать вопросы делимости чисел, что достаточно сложно описать в алгоритме, пригодном для всех случаев.         

диное, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Следуя учебнику  [1], мы будем обозначать его $ {\rm Rg}A$ .

      
    

Непрерывность функций Гиперболические функции и ареа-функции

Упражнение 3.2 Докажите приведённые выше формулы, исходя из определений гиперболических функций.

Подобно тому, как равенство $ \cos^2t+\sin^2t=1$ выражает тот факт, что точка координатной плоскости $ xOy$ с координатами $ x=\cos t$, $ y=\sin t$ при изменении параметра $ t$ движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением $ x^2+y^2=1$ (и называемой тригонометрическим кругом), равенство $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2t-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2t=1$ говорит о том, что точка с координатами $ x=\mathop{\rm ch}\nolimits t$, $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits t$ движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением $ x^2-y^2=1$. Отсюда и происходит название: гиперболические функции.

Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \mathop{\rm th}\nolimits $ непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом, и обозначается $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $. Имеем: $ {\mathop{\rm arsh}\nolimits :\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm sh}\nolimits y}$. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm th}\nolimits $, называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом, и обозначается $ \mathop{\rm arth}\nolimits $. Итак, $ {\mathop{\rm arth}\nolimits :(-1;1)\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arth}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm th}\nolimits y}$.

Рис.3.27.Графики функций $ y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm cth}\nolimits $, хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах $ (-\infty;0)$ и $ (0;+\infty)$ и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим котангенсом, или ареа-котангенсом, обозначаемая $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $. Она определена на $ (-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ и принимает значения в множестве $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Рис.3.28.График функции $ y=\mathop{\rm arcth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось $ [0;+\infty)$, при этом функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits \vert _{[0;+\infty)}$ принимает все значения из $ [1;+\infty)$. Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом и обозначаемая $ \mathop{\rm arch}\nolimits $. Она непрерывна на своей области определения $ [1;+\infty)$ и принимает значения на $ [0;+\infty)$.

Возможен вариант: вместо ограничения на $ [0;+\infty)$ можно рассмотреть ограничение функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ на $ (-\infty;0]$, а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-$). Итак, $ \mathop{\rm arch}\nolimits :[1;+\infty)\to[0;+\infty)$ и $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-:[1;+\infty)\to(-\infty;0]$.

Рис.3.29.Графики функций $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits _-x$

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды