дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Матрицы Обратная матрица

        Определение 14.8   Матрица $ B$ называется обратной матрицей для квадратной матрицы $ A$ , если $ {AB=BA=E}$ .         

Из определения следует, что обратная матрица $ B$ будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица $ A$ (иначе одно из произведений $ AB$ или $ BA$ было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы $ A$ обозначается $ A^{-1}$ . Таким образом, если $ A^{-1}$ существует, то $ {AA^{-1}=A^{-1}A=E}$ .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица $ A$ является обратной для матрицы $ A^{-1}$ , то есть $ {(A^{-1})^{-1}=A}$ . Про матрицы $ A$ и $ A^{-1}$ можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

        Предложение 14.20   Если матрица $ A$ имеет обратную, то $ {\vert A\vert\ne0}$ и $ {\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{-1}}$ .

        Доказательство.     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7), то $ {\vert AA^{-1}\vert=\vert A\vert\vert A^{-1}\vert=\vert E\vert}$ . По  следствию 14.1 $ {\vert E\vert=1}$ , поэтому $ {\vert A\vert\vert A^{-1}\vert=1}$ , что невозможно при $ {\vert A\vert=0}$ . Из предыдущего равенства следует также $ {\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{-1}}$ .     

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

        Определение 14.9   Квадратную матрицу $ A$ назовем вырожденной или особенной матрицей, если $ {\vert A\vert=0}$ , и невырожденной или неособенной матрицей, если $ {\vert A\vert\ne0}$ .         
        Предложение 14.21   Если обратная матрица существует, то она единственна.

        Доказательство.     Пусть две матрицы $ B$ и $ C$ являются обратными для матрицы $ A$ . Тогда

$\displaystyle BAC=(BA)C=EC=C$   и$\displaystyle \quad BAC=B(AC)=BE=B.$

Следовательно, $ B=C$ .     

        Предложение 14.22   Если квадратная матрица $ A$ является невырожденной, то обратная для нее существует и
$\displaystyle A^{-1}=\frac1{\vert A\vert}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}... ...n2}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{array}\right),$(14.14)

где $ A_{ij}$  -- алгебраические дополнения к элементам $ a_{ij}$ .

        Доказательство.     Так как для невырожденной матрицы $ A$ правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы $ A$ . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой $ B$ . Тогда нужно проверить, что $ {AB=E}$ и что $ {BA=E}$ . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.

Пусть $ AB=C$ . Найдем элементы матрицы $ C$ , учитывая, что $ {b_{kj}=\dfrac{A_{jk}}{\vert A\vert}}$ :

$\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}\frac{A_{jk}}{\vert A\vert}= \frac1{\vert A\vert}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}.$

Если $ i\ne j$ , то по  предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть $ {c_{ij}=0}$ при $ {i\ne j}$ .

Если $ i=j$ , то

$\displaystyle c_{ii}=\frac1{\vert A\vert}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.$

Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы $ A$ по $ i$ -ой строке (предложение 14.16). Таким образом,

$\displaystyle c_{ii}=\frac1{\vert A\vert}\cdot \vert A\vert=1.$

Итак, в матрице $ C$ диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть $ {C=E}$ .     

Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.

        Теорема 14.1   Обратная матрица для квадратной матрицы $ A$ существует тогда и только тогда, когда матрица $ A$  -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).     
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.
        Замечание 14.12   Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй -- номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.         
       

Непрерывность функций Гиперболические функции и ареа-функции

Упражнение 3.2 Докажите приведённые выше формулы, исходя из определений гиперболических функций.

Подобно тому, как равенство $ \cos^2t+\sin^2t=1$ выражает тот факт, что точка координатной плоскости $ xOy$ с координатами $ x=\cos t$, $ y=\sin t$ при изменении параметра $ t$ движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением $ x^2+y^2=1$ (и называемой тригонометрическим кругом), равенство $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2t-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2t=1$ говорит о том, что точка с координатами $ x=\mathop{\rm ch}\nolimits t$, $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits t$ движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением $ x^2-y^2=1$. Отсюда и происходит название: гиперболические функции.

Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \mathop{\rm th}\nolimits $ непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом, и обозначается $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $. Имеем: $ {\mathop{\rm arsh}\nolimits :\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm sh}\nolimits y}$. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm th}\nolimits $, называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом, и обозначается $ \mathop{\rm arth}\nolimits $. Итак, $ {\mathop{\rm arth}\nolimits :(-1;1)\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arth}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm th}\nolimits y}$.

Рис.3.27.Графики функций $ y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm cth}\nolimits $, хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах $ (-\infty;0)$ и $ (0;+\infty)$ и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим котангенсом, или ареа-котангенсом, обозначаемая $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $. Она определена на $ (-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ и принимает значения в множестве $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Рис.3.28.График функции $ y=\mathop{\rm arcth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось $ [0;+\infty)$, при этом функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits \vert _{[0;+\infty)}$ принимает все значения из $ [1;+\infty)$. Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом и обозначаемая $ \mathop{\rm arch}\nolimits $. Она непрерывна на своей области определения $ [1;+\infty)$ и принимает значения на $ [0;+\infty)$.

Возможен вариант: вместо ограничения на $ [0;+\infty)$ можно рассмотреть ограничение функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ на $ (-\infty;0]$, а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-$). Итак, $ \mathop{\rm arch}\nolimits :[1;+\infty)\to[0;+\infty)$ и $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-:[1;+\infty)\to(-\infty;0]$.

Рис.3.29.Графики функций $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits _-x$

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды