дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

Напомним, что дифференциал функции $ f(x)$ (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой

$\displaystyle df(x;dx)=f'(x)dx.$

Рассмотрим это выражение (при фиксированном приращении $ dx$ аргумента $ x$) как функцию переменного $ x$ и найдём её дифференциал $ d(df(x;dx))=d^2f(x;dx)$:

$\displaystyle d^2f(x;dx)=(f'(x)dx)'dx=f''(x)(dx)^2.$

Этот дифференциал от первого дифференциала называется вторым дифференциалом от функции $ f(x)$, или дифференциалом второго порядка. Аналогично, дифференциал от второго дифференциала называется третьим дифференциалом; он задаётся формулой

$\displaystyle d^3f(x;dx)=(f''(x)(dx)^2)'dx=f'''(x)(dx)^3.$

Вообще, $ n$-й дифференциал $ d^nf(x;dx)$, или дифференциал $ n$-го порядка, определяется как дифференциал от $ (n-1)$-го дифференциала (при постоянном приращении $ dx$); для него имеет место формула:

$\displaystyle d^nf(x;dx)=f^{(n)}(x)(dx)^n.$
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

При $ n\geqslant 2$ $ n$-й дифференциал не инвариантен (в отличие от первого дифференциала), то есть выражение $ d^nf$ зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная $ x$ как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, $ x={\varphi}(t)$.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высших порядков достаточно привести пример. Пусть $ n=2$ и $ f(x)=x^3$. Если $ x$ -- независимая переменная, то

$\displaystyle d^2y=d^2f(x;dx)=(x^3)''(dx)^2=6x(dx)^2.$(4.16)
 


Если же $ x={\varphi}(t)=t^2$, то $ dx=d{\varphi}(t;dt)={\varphi}'(t)dt=2tdt$, и тогда правая часть формулы (4.16) даёт:

$\displaystyle 6x(dx)^2=6t^2(2tdt)^2=24t^4(dt)^2.$

Однако при этом $ y=x^3=(t^2)^3=t^6$ и

$\displaystyle d^2y=(t^6)''(dt)^2=30t^4(dt)^2.$

Как видно, получилось не то же самое, что по формуле (4.16) с учётом зависимости $ {x=t^2}$. Следовательно, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Тем более, не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Непрерывность функций Гиперболические функции и ареа-функции

Упражнение 3.2 Докажите приведённые выше формулы, исходя из определений гиперболических функций.

Подобно тому, как равенство $ \cos^2t+\sin^2t=1$ выражает тот факт, что точка координатной плоскости $ xOy$ с координатами $ x=\cos t$, $ y=\sin t$ при изменении параметра $ t$ движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением $ x^2+y^2=1$ (и называемой тригонометрическим кругом), равенство $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2t-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2t=1$ говорит о том, что точка с координатами $ x=\mathop{\rm ch}\nolimits t$, $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits t$ движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением $ x^2-y^2=1$. Отсюда и происходит название: гиперболические функции.

Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \mathop{\rm th}\nolimits $ непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом, и обозначается $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $. Имеем: $ {\mathop{\rm arsh}\nolimits :\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm sh}\nolimits y}$. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm th}\nolimits $, называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом, и обозначается $ \mathop{\rm arth}\nolimits $. Итак, $ {\mathop{\rm arth}\nolimits :(-1;1)\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arth}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm th}\nolimits y}$.

Рис.3.27.Графики функций $ y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm cth}\nolimits $, хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах $ (-\infty;0)$ и $ (0;+\infty)$ и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим котангенсом, или ареа-котангенсом, обозначаемая $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $. Она определена на $ (-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ и принимает значения в множестве $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Рис.3.28.График функции $ y=\mathop{\rm arcth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось $ [0;+\infty)$, при этом функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits \vert _{[0;+\infty)}$ принимает все значения из $ [1;+\infty)$. Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом и обозначаемая $ \mathop{\rm arch}\nolimits $. Она непрерывна на своей области определения $ [1;+\infty)$ и принимает значения на $ [0;+\infty)$.

Возможен вариант: вместо ограничения на $ [0;+\infty)$ можно рассмотреть ограничение функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ на $ (-\infty;0]$, а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-$). Итак, $ \mathop{\rm arch}\nolimits :[1;+\infty)\to[0;+\infty)$ и $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-:[1;+\infty)\to(-\infty;0]$.

Рис.3.29.Графики функций $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits _-x$

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды