дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Матрицы Определители

Алгоритм создания нулей в столбце.
Пусть требуется вычислить определитель матрицы $ A$ порядка $ n$ . Если $ {a_{11}=0}$ , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель $ A$ , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица $ A$ имеет нулевой столбец и по  предложениям 14.11, 14.18 ее определитель равен нулю.
Итак, считаем, что уже в исходной матрице $ {a_{11}\ne0}$ . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . Тогда первый элемент второй строки будет равен
$\displaystyle a_{21}^{(1)}=a_{21}+a_{11}\left(-\frac{a_{21}}{a_{11}}\right)=0.$
Остальные элементы новой второй строки обозначим $ a_{2k}^{(1)}$ , $ {k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен $ \vert A\vert$ .
Первую строку умножим на число $ \left(-\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен
$\displaystyle a_{31}^{(1)}=a_{31}+a_{11}\left(-\frac{a_{31}}{a_{11}}\right)=0.$
Остальные элементы новой третьей строки обозначим $ a_{3k}^{(1)}$ , $ {k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен $ \vert A\vert$ .
Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число $ \left(-\dfrac{a_{n1}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее $ A^{(1)}$ , которая имеет вид
$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ots&\dots\\ 0&a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right),$
причем $ \vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert$ . Для вычисления определителя матрицы $ A^{(1)}$ используем разложение по первому столбцу
$\displaystyle \vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert=a_{11}A_{11}^{(1)}+0\cdot A_{21}^{(1)}+\ldots+0\cdot A_{n1}^ {(1)}.$
Так как $ (-1)^{1+1}=1$ , то
$\displaystyle \vert A\vert=a_{11}\left\vert\begin{array}{cccc}a_{22}^{(1)}&a_{2... ...s&\dots\\ a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right\vert.$
В правой части стоит определитель матрицы порядка $ {n-1}$ . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы $ A$ сведется к вычислению определителя матрицы порядка $ {n-2}$ . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.     
Если матрица $ A$ не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма -- по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.
        Пример 14.6   Вычислите определитель матрицы
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 3&1&7&0\\ -4&-1&2&1\\ -6&7&1&-1\end{array}\right)$
.
Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\dfrac32$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}3&1&7&0\end{array}\right)+\left(-\dfrac3... ...ay}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&\dfrac52&\dfrac52&-3\end{array}\right).$
Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-4}2\right)=2$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-4&-1&2&1\end{array}\right)+2\left(\begi... ...-1&3&2\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&-3&8&5\end{array}\right).$
Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-6}2\right)=3$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-6&7&1&-1\end{array}\right)+3\left(\begi... ...-1&3&2\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&4&10&5\end{array}\right).$
Определитель не меняется. В результате получаем
$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 0& \phantom... ...\phantom{\dfrac52}\frac52&\frac52&-3\\ -3&8&5\\ 4&10&5\end{array}\right\vert.$
По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{-3}{\left(\frac52\right)}\right)=\dfrac65}$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-3&8&5\end{array}\right)+\dfrac65\left(\b... ...2&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&11&\dfrac75\end{array}\right).$
К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{4}{\left(\frac52\right)}\right)=-\dfrac85}$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}4&10&5\end{array}\right)-\dfrac85\left(\b... ...-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&6&\dfrac{49}5\end{array}\right).$
В результате получаем
\begin{multline*} \vert A\vert=2\left\vert\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac52}\... ...5\left(11\cdot\frac{49}5-6\cdot\frac75\right)=11\cdot49-42=497. \end{multline*}
Ответ. $ \vert A\vert=497$ .         
        Замечание 14.11   Внимательный читатель, наверное, отметил, что хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа -- целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.         

Непрерывность функций Гиперболические функции и ареа-функции

Упражнение 3.2 Докажите приведённые выше формулы, исходя из определений гиперболических функций.

Подобно тому, как равенство $ \cos^2t+\sin^2t=1$ выражает тот факт, что точка координатной плоскости $ xOy$ с координатами $ x=\cos t$, $ y=\sin t$ при изменении параметра $ t$ движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением $ x^2+y^2=1$ (и называемой тригонометрическим кругом), равенство $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2t-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2t=1$ говорит о том, что точка с координатами $ x=\mathop{\rm ch}\nolimits t$, $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits t$ движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением $ x^2-y^2=1$. Отсюда и происходит название: гиперболические функции.

Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \mathop{\rm th}\nolimits $ непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом, и обозначается $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $. Имеем: $ {\mathop{\rm arsh}\nolimits :\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm sh}\nolimits y}$. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm th}\nolimits $, называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом, и обозначается $ \mathop{\rm arth}\nolimits $. Итак, $ {\mathop{\rm arth}\nolimits :(-1;1)\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arth}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm th}\nolimits y}$.

Рис.3.27.Графики функций $ y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm cth}\nolimits $, хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах $ (-\infty;0)$ и $ (0;+\infty)$ и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим котангенсом, или ареа-котангенсом, обозначаемая $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $. Она определена на $ (-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ и принимает значения в множестве $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Рис.3.28.График функции $ y=\mathop{\rm arcth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось $ [0;+\infty)$, при этом функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits \vert _{[0;+\infty)}$ принимает все значения из $ [1;+\infty)$. Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом и обозначаемая $ \mathop{\rm arch}\nolimits $. Она непрерывна на своей области определения $ [1;+\infty)$ и принимает значения на $ [0;+\infty)$.

Возможен вариант: вместо ограничения на $ [0;+\infty)$ можно рассмотреть ограничение функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ на $ (-\infty;0]$, а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-$). Итак, $ \mathop{\rm arch}\nolimits :[1;+\infty)\to[0;+\infty)$ и $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-:[1;+\infty)\to(-\infty;0]$.

Рис.3.29.Графики функций $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits _-x$

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды