дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Матрицы Транспонирование матрицы

Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием.

        Определение 14.5   Пусть $ A$ -- матрица размеров $ m\times n$ . Тогда транспонированной матрицей $ A$ называется такая матрица $ B$ размеров $ n\times m$ , что $ {b_{ij}= a_{ji}}$ , $ {i=1,\dots,n}$ , $ {j=1,\dots,m}$ .         

Транспонированная матрица $ A$ обозначается $ A^{\top}$ или $ ^tA$ . Операция транспонирования заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями. В транспонированной матрице первым столбцом служит первая строка исходной матрицы, вторым столбцом -- вторая строка исходной матрицы и т.д. Например,

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&2\\ 3&-1\\ 4&-2\end{array}\right),\quad A^{\top}= \left(\begin{array}{rrr}1&3&4\\ 2&-1&-2\end{array}\right),$

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

$\displaystyle B=\left(\begin{array}{rr}3&1\\ 2&-4\end{array}\right),\quad B^{\top}=\left(\begin{array}{rr}3&2\\ 1&-4\end{array}\right).$

Читатель легко проверит, что

$\displaystyle \left(A^\top\right)^\top=A,\quad (A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top},\quad ({\alpha}A)^{\top}={\alpha}\left(A^{\top} \right),$

где $ {\alpha}$ -- число.

Предложение 14.5   Если произведение $ AB$ определено, то

$\displaystyle (AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}.$(14.8)
 

        Доказательство.     Пусть $ A$ -- матрица размеров $ m\times n$ , $ B$  -- матрица размеров $ n\times k$ . Тогда $ A^{\top}$ имеет размеры $ n\times m$ , $ B^{\top}$  -- размеры $ k\times n$ . Число столбцов в $ B^{\top}$ совпадает с числом строк в $ A^{\top}$ , поэтому произведение $ B^{\top}$ на $ A^{\top}$ определено. Размеры этого произведения $ k\times m$ . Матрица $ AB$ имеет размеры $ m\times k$ , поэтому $ (AB)^{\top}$  -- матрица размеров $ k\times m$ . Итак, матрицы в правой и левой части равенства (14.8) существуют и имеют одинаковые размеры.

Пусть $ C=AB$ , $ D=(AB)^{\top}=C^\top$ , $ F=B^\top$ , $ {G=A^\top}$ , $ {H=B^\top A^\top=FG}$ . Нам нужно показать, что $ {d_{ij}=h_{ij}}$ , $ i=1,\dots,k$ , $ {j=1,\dots,m}$ .

По определению транспонирования $ d_{ij}=c_{ji}$ . По определению умножения матриц

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

$\displaystyle d_{ij}=c_{ji}=\sum_{s=1}^na_{js}b_{si}.$(14.9)
 


С другой стороны,

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{s=1}^nf_{is}g_{sj},\quad f_{is}=b_{si},\quad g_{sj}=a_{js}.$

Поэтому

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{s=1}^nb_{si}a_{js}=\sum_{s=1}^na_{js}b_{si}.$

Сравнивая полученный результат с (14.9), получаем $ d_{ij}=h_{ij}$ .     

Непрерывность функций Гиперболические функции и ареа-функции

Упражнение 3.2 Докажите приведённые выше формулы, исходя из определений гиперболических функций.

Подобно тому, как равенство $ \cos^2t+\sin^2t=1$ выражает тот факт, что точка координатной плоскости $ xOy$ с координатами $ x=\cos t$, $ y=\sin t$ при изменении параметра $ t$ движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением $ x^2+y^2=1$ (и называемой тригонометрическим кругом), равенство $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2t-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2t=1$ говорит о том, что точка с координатами $ x=\mathop{\rm ch}\nolimits t$, $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits t$ движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением $ x^2-y^2=1$. Отсюда и происходит название: гиперболические функции.

Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \mathop{\rm th}\nolimits $ непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом, и обозначается $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $. Имеем: $ {\mathop{\rm arsh}\nolimits :\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm sh}\nolimits y}$. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm th}\nolimits $, называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом, и обозначается $ \mathop{\rm arth}\nolimits $. Итак, $ {\mathop{\rm arth}\nolimits :(-1;1)\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arth}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm th}\nolimits y}$.

Рис.3.27.Графики функций $ y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm cth}\nolimits $, хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах $ (-\infty;0)$ и $ (0;+\infty)$ и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим котангенсом, или ареа-котангенсом, обозначаемая $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $. Она определена на $ (-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ и принимает значения в множестве $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Рис.3.28.График функции $ y=\mathop{\rm arcth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось $ [0;+\infty)$, при этом функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits \vert _{[0;+\infty)}$ принимает все значения из $ [1;+\infty)$. Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом и обозначаемая $ \mathop{\rm arch}\nolimits $. Она непрерывна на своей области определения $ [1;+\infty)$ и принимает значения на $ [0;+\infty)$.

Возможен вариант: вместо ограничения на $ [0;+\infty)$ можно рассмотреть ограничение функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ на $ (-\infty;0]$, а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-$). Итак, $ \mathop{\rm arch}\nolimits :[1;+\infty)\to[0;+\infty)$ и $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-:[1;+\infty)\to(-\infty;0]$.

Рис.3.29.Графики функций $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits _-x$

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды