дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Сводка основных результатов о производных


Для удобства приведём полученные выше результаты в виде таблицы. Всюду в этой таблице $ u$ и $ v$ -- функции переменного $ x$, $ c$ -- постоянная. Производные элементарных функций приведены в предположении, что $ u=u(x)$ -- промежуточный аргумент сложной функции.

 

Правила дифференцирования
1$ (u+v)'=u'+v'$Эти два свойства выражают
2$ (cu)'=cu'$линейность операции дифференцирования
3$ (u-v)'=u'-v'$ 
4$ (uv)'=u'v+v'u$ 
5$ \bigl(\dfrac{u}{v}\bigr)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ 
6$ (f(u(x))'_x=f'_u(u(x))\cdot u'(x)$ 
7$ df(x;dx)=f'_x(x)dx$(и в том случае, когда $ x=x(t)$)
8Если функция $ {\varphi}(y)$ -- обратная к $ f(x)$,то $ {\varphi}'_y(y)=\dfrac{1}{f'({\varphi}(y))}$
9Если $ x={\varphi}(t),\;y=\psi(t)$,то $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$ (см. ниже)
   

Производные элементарных функций

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

1$ c'=0$ 
2 $ (u^n)'_x=nu^{n-1}\cdot u'_x,\; n\in\mathbb{R}$ 
3$ (a^u)'_x=a^u\ln a\cdot u'_x,\; a>0,a\ne1$,в частности, $ (e^u)'_x=e^uu'_x$
4$ (\log_au)'_x=\dfrac{u'_x}{u\ln a},\; a>0,a\ne1$,в частности, $ (\ln u)'_x=\dfrac{u'_x}{u}$
5$ (\sin u)'_x=\cos u\cdot u_x$ 
6$ (\cos u)'_x=-\sin u\cdot u_x$ 
7$ (\mathop{\rm tg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\cos^2x}=(1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2u)u'_x$ 
8$ (\mathop{\rm ctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sin^2x}=-(1+\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2u)u'_x$ 
9$ (\arcsin u)'_x=\dfrac{u'_x}{\sqrt{1-u^2}}$ 
10$ (\arccos u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sqrt{1-u^2}}$ 
11$ (\mathop{\rm arctg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1+u^2}$ 
12$ (\mathop{\rm arcctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{1+u^2}$ 
13$ (\mathop{\rm sh}\nolimits u)'_x=\mathop{\rm ch}\nolimits u\cdot u'_x$ 
14$ (\mathop{\rm ch}\nolimits u)'_x=\mathop{\rm sh}\nolimits u\cdot u'_x$ 
15$ (\mathop{\rm th}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\mathop{\rm ch}\nolimits ^2u}=(1-\mathop{\rm th}\nolimits ^2u)u'_x$ 
16$ (\mathop{\rm cth}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2u}=(1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2u)u'_x$ 
17 $ (\mathop{\rm arsh}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\sqrt{u^2+1}}$ 
18$ (\mathop{\rm arch}\nolimits u)'_x=\pm\dfrac{u'_x}{\sqrt{u^2-1}}$ 
19 $ (\mathop{\rm arth}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1-u^2}$ 
20$ (\mathop{\rm arcth}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1-u^2}$ 
   

Непрерывность функций Гиперболические функции и ареа-функции

Упражнение 3.2 Докажите приведённые выше формулы, исходя из определений гиперболических функций.

Подобно тому, как равенство $ \cos^2t+\sin^2t=1$ выражает тот факт, что точка координатной плоскости $ xOy$ с координатами $ x=\cos t$, $ y=\sin t$ при изменении параметра $ t$ движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением $ x^2+y^2=1$ (и называемой тригонометрическим кругом), равенство $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2t-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2t=1$ говорит о том, что точка с координатами $ x=\mathop{\rm ch}\nolimits t$, $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits t$ движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением $ x^2-y^2=1$. Отсюда и происходит название: гиперболические функции.

Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \mathop{\rm th}\nolimits $ непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом, и обозначается $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $. Имеем: $ {\mathop{\rm arsh}\nolimits :\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm sh}\nolimits y}$. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm th}\nolimits $, называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом, и обозначается $ \mathop{\rm arth}\nolimits $. Итак, $ {\mathop{\rm arth}\nolimits :(-1;1)\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arth}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm th}\nolimits y}$.

Рис.3.27.Графики функций $ y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm cth}\nolimits $, хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах $ (-\infty;0)$ и $ (0;+\infty)$ и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим котангенсом, или ареа-котангенсом, обозначаемая $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $. Она определена на $ (-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ и принимает значения в множестве $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Рис.3.28.График функции $ y=\mathop{\rm arcth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось $ [0;+\infty)$, при этом функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits \vert _{[0;+\infty)}$ принимает все значения из $ [1;+\infty)$. Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом и обозначаемая $ \mathop{\rm arch}\nolimits $. Она непрерывна на своей области определения $ [1;+\infty)$ и принимает значения на $ [0;+\infty)$.

Возможен вариант: вместо ограничения на $ [0;+\infty)$ можно рассмотреть ограничение функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ на $ (-\infty;0]$, а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-$). Итак, $ \mathop{\rm arch}\nolimits :[1;+\infty)\to[0;+\infty)$ и $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-:[1;+\infty)\to(-\infty;0]$.

Рис.3.29.Графики функций $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits _-x$

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды