дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Производная обратной функции


Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция, монотонная на интервале $ (a;b)$. Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция $ y=f(x)$ имеет обратную функцию $ x={\varphi}(y)$, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале $ (c;d)$, в который функция $ f$ переводит интервал $ (a;b)$. Пусть $ x_0\in(a;b)$ -- фиксированная точка и $ y_0=f(x_0)\in(c;d)$ -- точка, ей соответствующая. Тогда $ x_0={\varphi}(y_0)$.

        Теорема 4.5   Пусть функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ производную $ f'(x_0)\ne0$. Тогда обратная функция $ {\varphi}(y)$ имеет в соответствующей точке $ y_0$ производную $ {\varphi}'(y_0)$, которую можно отыскать по формуле
$\displaystyle {\varphi}'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}.$(4.14)
 

        Доказательство.     Дадим аргументу $ x_0$ приращение $ {\Delta}x\ne0$, такое что $ {x_0+{\Delta}x\in(a;b)}$, и рассмотрим соответствующее приращение $ {\Delta}y$, определяемое равенством $ y_0+{\Delta}y=f(x_0+{\Delta}x)$. Тогда, очевидно, $ {y_0+{\Delta}y\in(c;d)}$; при этом $ {\varphi}(y_0+{\Delta}y)=x_0+{\Delta}x$, а из монотонности функции $ f$ следует, что $ {\Delta}y\ne0$. Поскольку как функция $ f$, так и функция $ {\varphi}$ непрерывны, то условия $ {\Delta}x\to0$ и $ {\Delta}y\to0$ эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции $ x={\varphi}(y)$ и запишем для него очевидное равенство:

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=\dfrac{1}{\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}.$
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при $ {\Delta}y\to0$ и учтём, что при этом $ {\Delta}x$ тоже стремится к 0:

$\displaystyle {\varphi}'(y_0)=\lim_{{\Delta}y\to0}\dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=... ...1}{\lim\limits_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}=\dfrac{1}{f'(x_0)},$

что мы и хотели доказать.     

Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{{\varphi}'(f(x))},$(4.15)
 


если $ {\varphi}(y)$ -- функция, обратная к $ f(x)$.

        Замечание 4.10   Нетрудно заметить из приведённого доказательства, что если существует производная $ f'(x_0)=0$, то разностное отношение $ \dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}$ стремится к $ \infty$ при $ {\Delta}y\to0$, что соответствует вертикальной касательной к графику $ x={\varphi}(y)$ при $ y=y_0$ (если считать, что ось $ 0y$ расположена горизонтально, а ось $ Oy$ -- вертикально).     

Рис.4.7.Графики функций $ y=f(x)$ и $ x={\varphi}(y)$ и касательные к ним при $ f'(x_0)=0$

Полученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный геометрический смысл. Заметим, что график как функции $ y=f(x)$, так и обратной функции $ x={\varphi}(y)$ изображается на координатной плоскости $ xOy$ одной и той же линией, состоящей из точек $ (x;y)$, где $ y=f(x)$ или, что то же самое, $ x={\varphi}(y)$. Поэтому, если в точке $ (x_0;y_0)$ график функции $ y=f(x)$ имеет касательную, образующую угол $ {\alpha}$ с осью $ Ox$, то угол той же касательной с осью $ Oy$ будет, очевидно, равен $ \dfrac{\pi}{2}-{\alpha}$. Тогда

$\displaystyle {\varphi}(y_0)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\dfrac{\pi}{2}-{\alpha})... ...imits {\alpha}=\dfrac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}}=\dfrac{1}{f'(x_0)},$

поскольку для обратной функции $ {\varphi}(y)$ производная даёт тангенс угла наклона касательной по отношению к оси $ Oy$, на которой меняется аргумент функции $ {\varphi}$.

Рис.4.8.Углы, тангенсы которых равны $ f'(x_0)$ и $ {\varphi}'(y_0)$, дополняют друг друга до $ 90^{\circ}$

Свойства производных

Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке $ x_0$, замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.

        Теорема 4.2   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные в точке $ x$. Тогда функции $ w_1(x)=f(x)+g(x)$, $ w_2(x)=f(x)-g(x)$, $ w_3(x)=f(x)g(x)$, а в случае $ g(x)\ne0$ также $ w_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ имеют производные в точке $ x$, которые выражаются следующими формулами:
$\displaystyle w_1'(x)=(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x);$ (4.7)
$\displaystyle w_2'(x)=(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x);$ (4.8)
$\displaystyle w_3'(x)=(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x);$ (4.9)
$\displaystyle w_4'(x)=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}.$ (4.10)

Аналогичные утверждения и формулы имеют место также для односторонних производных $ w_i'(x\pm)$ ($ i=1,2,3,4$).
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Доказательство.     Докажем формулу (4.7). Пусть аргументу $ x$ дано приращение $ h$; при этом функция $ f(x)$ получает приращение $ {\Delta}f=f(x+h)-f(x)$, а функция $ g(x)$ -- приращение $ {\Delta}g=g(x+h)-g(x)$. Их сумма $ w_1(x)$ получит тогда приращение

$\displaystyle {\Delta}w_1=(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))=(f(x+h)-f(x))+(g(x+h)-g(x))= {\Delta}f+{\Delta}g.$
Значит,
$\displaystyle w_1'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_1}{h}= \lim_{h\to0}\left(\d... ...m_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}+ \lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}g}{h}=f'(x)+g'(x). $
Совершенно аналогично доказывается формула (4.8).

Докажем теперь формулу (4.9). Пусть снова $ {\Delta}f$ и $ {\Delta}g$ -- приращения функций, соответствующие приращению $ {\Delta}x=h$ аргумента $ x$. Тогда $ f(x+h)=f(x)+{\Delta}f$, $ g(x+h)=g(x)+{\Delta}g$ и приращением произведения будет

\begin{multline*} {\Delta}w_3=f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=(f(x)+{\Delta}f)(g(x)+{\Del... ...-f(x)g(x)=\\ =g(x){\Delta}f+f(x){\Delta}g+{\Delta}f{\Delta}g. \end{multline*}
Поэтому, по свойствам пределов,
\begin{multline*} w_3'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_3}{h}= \lim_{h\to0}\lef... ...\ =f'(x)g(x)+g'(x)f(x)+0\cdot f'(x)g'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x). \end{multline*}
При этом мы вынесли множители $ g(x)$ и $ f(x)$ за знак предела $ \lim\limits_{h\to0}$ как постоянные, не зависящие от переменного $ h$, к которому относится база предела.

Докажем теперь формулу (4.10). Заметим, что

$\displaystyle {\Delta}w_4=\dfrac{f(x)+{\Delta}f}{g(x)+{\Delta}g}-\dfrac{f(x)}{g... ...)(g(x)+{\Delta}g)}= \dfrac{g(x){\Delta}f-f(x){\Delta}g}{g(x)(g(x)+{\Delta}g)}.$

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды