дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Матрицы Сложение матриц и умножение на число

Сложение определено только для матриц одинаковых размеров.
        Определение 14.2   Суммой матриц $ A$ и $ B$ размеров $ m\times n$ является матрица $ C$ таких же размеров, у которой $ {c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$ , $ {i=1,2,\dots,m}$ , $ {j=1,2,\dots,n}$ .         

Другими словами, при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&3&1\\ -1&2&4\end{array}\right)+\left(\b... ...-1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrr}5&3&3\\ 0&0&3\end{array}\right).$
        Определение 14.3   Произведением матрицы $ A$ размеров $ m\times n$ на число $ {\alpha}$ называется матрица $ C$ таких же размеров, у которой $ {c_{ij}={\alpha}a_{ij}}$ , $ {i=1,2,\dots,m}$ , $ {j=1,2,\dots,n}$ .         

Другими словами, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число. Например, $ {\quad 3\left(\begin{array}{rr}2&1\\ -4&5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}6&3\\ -12&15\end{array}\right)}$ .

Операцию вычитания матриц можно определить следующим способом:

$\displaystyle A-B=A+(-1)B,$
что соответствует вычитанию элементов, стоящих на одинаковых местах.

Используя операции сложения и умножения, мы можем находить линейные комбинации матриц, то есть выражения вида $ {{\alpha}_1A_1+{\alpha}_2A_2+\ldots +{\alpha}_kA_k}$ , где $ {{\alpha}_1,{\alpha}_2,\ldots,{\alpha}_k}$  -- числа, $ {A_1,A_2,\ldots,A_k}$  -- матрицы одинаковых размеров.

        Пример 14.1   Пусть $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\ -1&4&1\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rrr}3&-2&0\\ -5&1&3\end{array}\right)$ . Найдем $ {3A-2B}$ :
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.
\begin{multline*} 3A-2B=3\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\ -1&4&1\end{array}\righ... ... =\left(\begin{array}{rrr}-3&13&6\\ 7&10&-3\end{array}\right). \end{multline*}
        

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемые линейными операциями, обладают следующими свойствами:

  1. $ A+B=B+A$ -- свойство коммутативности;
  2. $ A+(B+C)=(A+B)+C$ -- свойство ассоциативности;
  3. $ A+0=A$ ;
  4. $ A+(-A)=0$ ;
  5. $ {\alpha}(A+B)={\alpha}A+{\alpha}B$ -- свойство дистрибутивности;
  6. $ ({\alpha}+{\beta})A={\alpha}A+{\beta}A$ ;
  7. $ {\alpha}({\beta}A)=({\alpha}{\beta})A$ ;
  8. $ 1\cdot A=A$ .
Здесь $ A,\,B,\,C$ -- матрицы, $ {\alpha},\,{\beta}$ -- числа, 0 -- нулевая матрица.

Отметим, что перечисленные здесь свойства совпадают со свойствами векторов, из теоремы 10.1.

Свойства производных

Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке $ x_0$, замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.

        Теорема 4.2   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные в точке $ x$. Тогда функции $ w_1(x)=f(x)+g(x)$, $ w_2(x)=f(x)-g(x)$, $ w_3(x)=f(x)g(x)$, а в случае $ g(x)\ne0$ также $ w_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ имеют производные в точке $ x$, которые выражаются следующими формулами:
$\displaystyle w_1'(x)=(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x);$ (4.7)
$\displaystyle w_2'(x)=(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x);$ (4.8)
$\displaystyle w_3'(x)=(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x);$ (4.9)
$\displaystyle w_4'(x)=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}.$ (4.10)

Аналогичные утверждения и формулы имеют место также для односторонних производных $ w_i'(x\pm)$ ($ i=1,2,3,4$).
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Доказательство.     Докажем формулу (4.7). Пусть аргументу $ x$ дано приращение $ h$; при этом функция $ f(x)$ получает приращение $ {\Delta}f=f(x+h)-f(x)$, а функция $ g(x)$ -- приращение $ {\Delta}g=g(x+h)-g(x)$. Их сумма $ w_1(x)$ получит тогда приращение

$\displaystyle {\Delta}w_1=(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))=(f(x+h)-f(x))+(g(x+h)-g(x))= {\Delta}f+{\Delta}g.$
Значит,
$\displaystyle w_1'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_1}{h}= \lim_{h\to0}\left(\d... ...m_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}+ \lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}g}{h}=f'(x)+g'(x). $
Совершенно аналогично доказывается формула (4.8).

Докажем теперь формулу (4.9). Пусть снова $ {\Delta}f$ и $ {\Delta}g$ -- приращения функций, соответствующие приращению $ {\Delta}x=h$ аргумента $ x$. Тогда $ f(x+h)=f(x)+{\Delta}f$, $ g(x+h)=g(x)+{\Delta}g$ и приращением произведения будет

\begin{multline*} {\Delta}w_3=f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=(f(x)+{\Delta}f)(g(x)+{\Del... ...-f(x)g(x)=\\ =g(x){\Delta}f+f(x){\Delta}g+{\Delta}f{\Delta}g. \end{multline*}
Поэтому, по свойствам пределов,
\begin{multline*} w_3'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_3}{h}= \lim_{h\to0}\lef... ...\ =f'(x)g(x)+g'(x)f(x)+0\cdot f'(x)g'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x). \end{multline*}
При этом мы вынесли множители $ g(x)$ и $ f(x)$ за знак предела $ \lim\limits_{h\to0}$ как постоянные, не зависящие от переменного $ h$, к которому относится база предела.

Докажем теперь формулу (4.10). Заметим, что

$\displaystyle {\Delta}w_4=\dfrac{f(x)+{\Delta}f}{g(x)+{\Delta}g}-\dfrac{f(x)}{g... ...)(g(x)+{\Delta}g)}= \dfrac{g(x){\Delta}f-f(x){\Delta}g}{g(x)(g(x)+{\Delta}g)}.$

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды