дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Производная композиции


  Пример 4.6   Найдём производную функции $ y=\cos^52x$. Здесь функция имеет вид $ y=u^5$, с промежуточным аргументом $ u=\cos2x$, который, в свою очередь, является сложной функцией. Поэтому
\begin{multline*} y'=5u^4u'_x=5(\cos2x)^4(\cos2x)'_x=5\cos^42x(-\sin2x)(2x)'=\\ =-5\cos^42x\sin2x\cdot2=-10\cos^42x\sin2x. \end{multline*}
    
        Пример 4.7   Найдём производные ареа-функций (напомним, что ареа-функции -- это функции, обратные к гиперболическим функциям). Ранее мы записали для них следующие формулы:
$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$   
$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$   

(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $);


$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};$   
$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1}.$   

Поэтому
\begin{multline*} (\mathop{\rm arsh}\nolimits x)'=(\ln(x+\sqrt{x^2+1}))'= \dfr... ...1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \end{multline*}
и аналогично:
\begin{multline*} (\mathop{\rm arch}\nolimits x)'=(\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})'= \df... ...{\sqrt{x^2-1}}}{x\pm\sqrt{x^2-1}}= \pm\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}; \end{multline*}
\begin{multline*} (\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-... ...dfrac{\dfrac{2}{(1-x)^2}}{\dfrac{1+x}{1-x}}= \dfrac{1}{1-x^2}; \end{multline*}
и аналогично:
\begin{multline*} (\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x... ...frac{\dfrac{-2}{(x-1)^2}}{\dfrac{x+1}{x-1}}= \dfrac{1}{1-x^2}. \end{multline*}
Последние две формулы не противоречат друг другу, так как при $ x\in(-1;1)$, а $ (\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$ при $ x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$.     
$ (\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$
        Упражнение 4.1   Пусть $ f(x)$ -- чётная функция, имеющая производную $ f'(x)$. Докажите, что тогда $ f'(x)$ является нечётной функцией. Наоборот, если $ f(x)$ -- нечётная функция, докажите, что $ f'(x)$ -- чётная функция.
При этом воспользуйтесь тем, что для чётной функции $ f(-x)=f(x)$, а для нечётной функции $ f(-x)=-f(x)$, и примените правило нахождения производной композиции, с промежуточным аргументом $ u(x)=-x$.     

Свойства производных

Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке $ x_0$, замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.

        Теорема 4.2   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные в точке $ x$. Тогда функции $ w_1(x)=f(x)+g(x)$, $ w_2(x)=f(x)-g(x)$, $ w_3(x)=f(x)g(x)$, а в случае $ g(x)\ne0$ также $ w_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ имеют производные в точке $ x$, которые выражаются следующими формулами:
$\displaystyle w_1'(x)=(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x);$ (4.7)
$\displaystyle w_2'(x)=(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x);$ (4.8)
$\displaystyle w_3'(x)=(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x);$ (4.9)
$\displaystyle w_4'(x)=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}.$ (4.10)

Аналогичные утверждения и формулы имеют место также для односторонних производных $ w_i'(x\pm)$ ($ i=1,2,3,4$).
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Доказательство.     Докажем формулу (4.7). Пусть аргументу $ x$ дано приращение $ h$; при этом функция $ f(x)$ получает приращение $ {\Delta}f=f(x+h)-f(x)$, а функция $ g(x)$ -- приращение $ {\Delta}g=g(x+h)-g(x)$. Их сумма $ w_1(x)$ получит тогда приращение

$\displaystyle {\Delta}w_1=(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))=(f(x+h)-f(x))+(g(x+h)-g(x))= {\Delta}f+{\Delta}g.$
Значит,
$\displaystyle w_1'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_1}{h}= \lim_{h\to0}\left(\d... ...m_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}+ \lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}g}{h}=f'(x)+g'(x). $
Совершенно аналогично доказывается формула (4.8).

Докажем теперь формулу (4.9). Пусть снова $ {\Delta}f$ и $ {\Delta}g$ -- приращения функций, соответствующие приращению $ {\Delta}x=h$ аргумента $ x$. Тогда $ f(x+h)=f(x)+{\Delta}f$, $ g(x+h)=g(x)+{\Delta}g$ и приращением произведения будет

\begin{multline*} {\Delta}w_3=f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=(f(x)+{\Delta}f)(g(x)+{\Del... ...-f(x)g(x)=\\ =g(x){\Delta}f+f(x){\Delta}g+{\Delta}f{\Delta}g. \end{multline*}
Поэтому, по свойствам пределов,
\begin{multline*} w_3'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_3}{h}= \lim_{h\to0}\lef... ...\ =f'(x)g(x)+g'(x)f(x)+0\cdot f'(x)g'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x). \end{multline*}
При этом мы вынесли множители $ g(x)$ и $ f(x)$ за знак предела $ \lim\limits_{h\to0}$ как постоянные, не зависящие от переменного $ h$, к которому относится база предела.

Докажем теперь формулу (4.10). Заметим, что

$\displaystyle {\Delta}w_4=\dfrac{f(x)+{\Delta}f}{g(x)+{\Delta}g}-\dfrac{f(x)}{g... ...)(g(x)+{\Delta}g)}= \dfrac{g(x){\Delta}f-f(x){\Delta}g}{g(x)(g(x)+{\Delta}g)}.$

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды