дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Производная композиции


Пусть $ f(u)$ и $ {\varphi}(x)$ -- такие числовые функции, что определена их композиция $ g(x)=(f\circ{\varphi})(x)=f({\varphi}(x))$. Предположим, что функция $ {\varphi}(x)$ определена в некоторой окрестности точки $ x_0$, а функция $ f(u)$ -- в некоторой окрестности точки $ u_0={\varphi}(x_0)$. Тогда имеет место следующее утверждение.

        Теорема 4.4   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную $ {\varphi}'(x_0)$, а функция $ f(u)$ -- производную $ f'(u_0)$, то композиция $ g(x)=f({\varphi}(x))$ имеет производную
$\displaystyle g'(x_0)=f'(u_0){\varphi}'(x_0).$(4.13)
 

        Доказательство.     Рассмотрим приращение функции $ g(x)$, соответствующее приращению $ {\Delta}x=h$ переменного $ x$:

$\displaystyle {\Delta}g(x_0;h)=g(x_0+h)-g(x_0)=f({\varphi}(x_0+h))-f({\varphi}(x_0))= {\Delta}f(u_0;{\Delta}{\varphi}),$

где $ u_0={\varphi}(x_0)$ и $ {\Delta}{\varphi}-{\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0)$. Так как функция $ f(u)$ имеет дифференциал в точке $ u_0$ (см.  теорему 4.3), то

$\displaystyle {\Delta}f(u_0;{\Delta}{\varphi})=f'(u_0){\Delta}{\varphi}+{\alpha... ...arphi}(x_0)h+{\beta}(x_0;h)h)+{\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\Delta}{\varphi},$

где $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})\to0$ при $ {\Delta}{\varphi}\to0$ и $ {\beta}(x_0;h)\to0$ при $ h\to0$. Раскрываем скобки далее:

$\displaystyle {\Delta}g(x_0;h)=f'(u_0){\varphi}'(x_0)h+f'(u_0){\beta}(x_0;h)h+{... ...ta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)h+ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)h=$   
$\displaystyle =f'(u_0){\varphi}(x_0)h+h[ f'(u_0){\beta}(x_0;h)+{\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)+ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)].$   
 

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Теперь, в соответствии с теоремой 4.3, осталось доказать, что в последней формуле в квадратных скобках стоит величина, бесконечно малая при $ h\to0$. Первое слагаемое $ f'(u_0){\beta}(x_0;h)$ бесконечно мало, поскольку $ f'(u_0)$ вообще не зависит от $ h$, а $ {\beta}(x_0;h)$ -- бесконечно малая при базе $ h\to0$. Во втором слагаемом $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)$ постоянной является величина $ {\varphi}'(x_0)$. Покажем, что $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})={\alpha}(u_0;{\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0))\to0$ при $ h\to0$. Так как функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную при $ x=x_0$, то $ {\varphi}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$, откуда $ {\varphi}(x_0+h)\to{\varphi}(x_0)$ и, следовательно, $ {\Delta}{\varphi}={\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0)\to0$ при $ h\to0$. Поэтому $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})\to0$ при $ h\to0$, по предположению о величине $ {\alpha}$. Для третьего слагаемого $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)$ заметим, что $ {\alpha}$, как только что было доказано, есть бесконечно малая и, следовательно, локально ограниченная функция при $ h\to0$, а $ {\beta}$ -- бесконечно малая. Значит, их произведение также бесконечно мало при $ h\to0$. Тем самым, в квадратных скобках стоит сумма трёх бесконечно малых, которая также является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.     

        Замечание 4.9   Мы можем пояснить происхождение формулы (4.13), то есть формулы $ y'=f'\cdot{\varphi}'$, где $ y=f(u),u={\varphi}(x)$, записав её в виде
$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}.$
Эта формула получается предельным переходом из очевидного равенства
$\displaystyle \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}=\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}u}\cdot\dfrac{{\Delta}u}{{\Delta}x},$
однако такое доказательство формулы (4.13) имеет существенный недостаток, поскольку ниоткуда не следует, что $ {\Delta}u\ne0$ при всех $ {\Delta}x=h\ne0$. Тем не менее, смысл формулы для производной композиции функций при этом, несомненно, проясняется.     
    

Свойства производных

Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке $ x_0$, замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.

        Теорема 4.2   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные в точке $ x$. Тогда функции $ w_1(x)=f(x)+g(x)$, $ w_2(x)=f(x)-g(x)$, $ w_3(x)=f(x)g(x)$, а в случае $ g(x)\ne0$ также $ w_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ имеют производные в точке $ x$, которые выражаются следующими формулами:
$\displaystyle w_1'(x)=(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x);$ (4.7)
$\displaystyle w_2'(x)=(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x);$ (4.8)
$\displaystyle w_3'(x)=(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x);$ (4.9)
$\displaystyle w_4'(x)=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}.$ (4.10)

Аналогичные утверждения и формулы имеют место также для односторонних производных $ w_i'(x\pm)$ ($ i=1,2,3,4$).
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Доказательство.     Докажем формулу (4.7). Пусть аргументу $ x$ дано приращение $ h$; при этом функция $ f(x)$ получает приращение $ {\Delta}f=f(x+h)-f(x)$, а функция $ g(x)$ -- приращение $ {\Delta}g=g(x+h)-g(x)$. Их сумма $ w_1(x)$ получит тогда приращение

$\displaystyle {\Delta}w_1=(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))=(f(x+h)-f(x))+(g(x+h)-g(x))= {\Delta}f+{\Delta}g.$
Значит,
$\displaystyle w_1'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_1}{h}= \lim_{h\to0}\left(\d... ...m_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}+ \lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}g}{h}=f'(x)+g'(x). $
Совершенно аналогично доказывается формула (4.8).

Докажем теперь формулу (4.9). Пусть снова $ {\Delta}f$ и $ {\Delta}g$ -- приращения функций, соответствующие приращению $ {\Delta}x=h$ аргумента $ x$. Тогда $ f(x+h)=f(x)+{\Delta}f$, $ g(x+h)=g(x)+{\Delta}g$ и приращением произведения будет

\begin{multline*} {\Delta}w_3=f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=(f(x)+{\Delta}f)(g(x)+{\Del... ...-f(x)g(x)=\\ =g(x){\Delta}f+f(x){\Delta}g+{\Delta}f{\Delta}g. \end{multline*}
Поэтому, по свойствам пределов,
\begin{multline*} w_3'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_3}{h}= \lim_{h\to0}\lef... ...\ =f'(x)g(x)+g'(x)f(x)+0\cdot f'(x)g'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x). \end{multline*}
При этом мы вынесли множители $ g(x)$ и $ f(x)$ за знак предела $ \lim\limits_{h\to0}$ как постоянные, не зависящие от переменного $ h$, к которому относится база предела.

Докажем теперь формулу (4.10). Заметим, что

$\displaystyle {\Delta}w_4=\dfrac{f(x)+{\Delta}f}{g(x)+{\Delta}g}-\dfrac{f(x)}{g... ...)(g(x)+{\Delta}g)}= \dfrac{g(x){\Delta}f-f(x){\Delta}g}{g(x)(g(x)+{\Delta}g)}.$

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды