дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Разложение вектора по базису Векторная алгебра

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора.

Задача. Даны векторы $ {\overrightarrow {OA}={\bf a}}$ , $ {\overrightarrow {OB}={\bf b}}$ . Вектор $ {\overrightarrow {OC}={\bf c}}$ -- медиана треугольника $ OAB$ . Найдите координаты вектора a в базисе b, c.

Решение. Сначала рассмотрим геометрическое решение (рис. 10.13).




Рис.10.13.Геометрическое разложение вектора


Проведем через конец вектора a прямую параллельно вектору b до пересечения с продолжением вектора c. Получим точку пересечения $ D$ . Легко видеть, что $ {\overrightarrow {OD}=2{\bf c}}$ , $ {\overrightarrow {AD}={\bf b}}$ . Проведем через точку $ A$ прямую параллельно вектору c до пересечения с продолжением вектора b. Получим точку $ F$ . Очевидно, что $ {\vert OF\vert=\vert AD\vert}$ , то есть $ {\overrightarrow {OF}=-{\bf b}}$ . Таким образом, $ {\bf a}=\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OF}=2{\bf c}+(-{\bf b})=(-1){\bf b}+2{\bf c}$ . Получим $ {{\bf a}=(-1;2)}$ .

Аналитическое решение. Получим какое-нибудь уравнение, связывающее векторы a, b, c. Для этого достроим треугольник $ OAB$ до параллелограмма (рис. 10.14).




Рис.10.14.


Тогда $ \overrightarrow {OD}=2{\bf c}$ , $ \overrightarrow {OD}={\bf a}+{\bf b}$ . Получим равенство $ {2{\bf c}={\bf a}+{\bf b}}$ . Откуда $ {{\bf a}=-{\bf b}+2{\bf c}}$ , то есть $ {{\bf a}=(-1;2)}$ .
Ответ:$ {\bf a}=(-1;2)$

Основные обозначения и определения Функции и их графики

Пример 1.8 Пусть $ A$-- круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1-- границу круга) на числовой плоскости $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ x_1$ и $ x_2$, с центром в точке $ O(0;0)$. Функцию $ f$ в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки $ (x_1;x_2)$ до центра. Таким образом, $ f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, где $ x=(x_1;x_2)\in A\sbs R^2$.
Графиком $ {\Gamma}_f$ этой функции является подмножество прямого произведения $ A\times\mathbb{R}$. Это прямое произведение-- бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве $ \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3$. Обозначим координаты точек в $ \mathbb{R}^3$ через $ x_1,x_2,y$. Тогда графику $ {\Gamma}_f$ принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения $ y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ и $ x_1^2+x_2^2\leqslant 1$.
Множество $ Г_f$ представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке $ (0;0;0)$, с высотой 1 и радиусом основания 1.


Рис.1.7.График расстояния до точки $ O$-- это конус


Как мы видим, в случае, когда $ A$-- подмножество плоскости $ \mathbb{R}^2$, график числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$-- это подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$. Если же $ A$-- подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$, то графиком числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$ будет подмножество $ {\Gamma}_f$ четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества $ A\times\mathbb{R}\sbs\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4$. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график $ {\Gamma}_f$ описать каким-то иным способом.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды