дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Параллельный перенос системы координат Кривые и поверхности второго порядка

 

 Пример 13.2   Нарисуйте поверхность $ 4x^2-y^2+z^2+8x-4y-2z=3$ .
Решение. Выделим полные квадраты по переменным $ x$ , $ y$ и $ z$ (см. пример 12.1):
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.
$\displaystyle 4(x^2+2x+1)-4-(y^2+4y+4)+4+(z^2-2z+1)-1=3.$
Отсюда
$\displaystyle 4(x+1)^2-(y+2)^2+(z-1)^2=4.$
Разделим обе части на 4:
$\displaystyle \frac{(x+1)^2}{1^2}-\frac{(y+2)^2}{2^2}+\frac{(z-1)^2}{2^2}=1.$
Введем новую систему координат с началом в точке $ O_1(-1;-2;1)$ , получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 13.1 получим, что в новой системе поверхность задается уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$
Данное уравнение отличается от канонического уравнения однополостного гиперболоида тем, что поменялись ролями оси ординат ( $ O_1\tilde y$ ) и аппликат ($ O_1\tilde z$ ). Не переобозначая осей, произведем построение поверхности с помощью сечений. В сечении плоскостью $ \tilde xO_1\tilde z$ получаем эллипс с уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$
Его полуоси равны 1 и 2 и лежат соответственно на осях $ O_1\tilde x$ и $ O_1\tilde y$ . В сечении плоскостью $ \tilde xO_1\tilde y$ получаем гиперболу с уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$
Ее мнимая ось лежит на оси $ O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $ O_1\tilde x$ , полуоси соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью $ \tilde yO_1\tilde z$ получаем равностороннюю гиперболу с уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde z^2}{2^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$
Ее мнимая ось лежит на оси $ O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $ O_1\tilde z$ , обе полуоси равны 2. Для большей наглядности нарисуем еще два сечения плоскостями параллельными плоскости $ \tilde xO_1\tilde z$ . В сечениях получим эллипсы, подобные эллипсу в плоскости $ \tilde xO_1\tilde z$ . По рассмотренным сечениям можно представить себе форму гиперболоида и его расположение в пространстве (рис. 13.33). Объемное изображение приведено на рис. 13.34.


Рис.13.33.Изображение поверхности с помощью сечений




Рис.13.34.Объемное изображение поверхности

 

       

Свойства производных

Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке $ x_0$, замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.

        Теорема 4.2   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные в точке $ x$. Тогда функции $ w_1(x)=f(x)+g(x)$, $ w_2(x)=f(x)-g(x)$, $ w_3(x)=f(x)g(x)$, а в случае $ g(x)\ne0$ также $ w_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ имеют производные в точке $ x$, которые выражаются следующими формулами:
$\displaystyle w_1'(x)=(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x);$ (4.7)
$\displaystyle w_2'(x)=(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x);$ (4.8)
$\displaystyle w_3'(x)=(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x);$ (4.9)
$\displaystyle w_4'(x)=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}.$ (4.10)

Аналогичные утверждения и формулы имеют место также для односторонних производных $ w_i'(x\pm)$ ($ i=1,2,3,4$).
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Доказательство.     Докажем формулу (4.7). Пусть аргументу $ x$ дано приращение $ h$; при этом функция $ f(x)$ получает приращение $ {\Delta}f=f(x+h)-f(x)$, а функция $ g(x)$ -- приращение $ {\Delta}g=g(x+h)-g(x)$. Их сумма $ w_1(x)$ получит тогда приращение

$\displaystyle {\Delta}w_1=(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))=(f(x+h)-f(x))+(g(x+h)-g(x))= {\Delta}f+{\Delta}g.$
Значит,
$\displaystyle w_1'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_1}{h}= \lim_{h\to0}\left(\d... ...m_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}+ \lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}g}{h}=f'(x)+g'(x). $
Совершенно аналогично доказывается формула (4.8).

Докажем теперь формулу (4.9). Пусть снова $ {\Delta}f$ и $ {\Delta}g$ -- приращения функций, соответствующие приращению $ {\Delta}x=h$ аргумента $ x$. Тогда $ f(x+h)=f(x)+{\Delta}f$, $ g(x+h)=g(x)+{\Delta}g$ и приращением произведения будет

\begin{multline*} {\Delta}w_3=f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=(f(x)+{\Delta}f)(g(x)+{\Del... ...-f(x)g(x)=\\ =g(x){\Delta}f+f(x){\Delta}g+{\Delta}f{\Delta}g. \end{multline*}
Поэтому, по свойствам пределов,
\begin{multline*} w_3'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_3}{h}= \lim_{h\to0}\lef... ...\ =f'(x)g(x)+g'(x)f(x)+0\cdot f'(x)g'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x). \end{multline*}
При этом мы вынесли множители $ g(x)$ и $ f(x)$ за знак предела $ \lim\limits_{h\to0}$ как постоянные, не зависящие от переменного $ h$, к которому относится база предела.

Докажем теперь формулу (4.10). Заметим, что

$\displaystyle {\Delta}w_4=\dfrac{f(x)+{\Delta}f}{g(x)+{\Delta}g}-\dfrac{f(x)}{g... ...)(g(x)+{\Delta}g)}= \dfrac{g(x){\Delta}f-f(x){\Delta}g}{g(x)(g(x)+{\Delta}g)}.$

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды