дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Свойства производных

Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке $ x_0$, замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.

        Теорема 4.2   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные в точке $ x$. Тогда функции $ w_1(x)=f(x)+g(x)$, $ w_2(x)=f(x)-g(x)$, $ w_3(x)=f(x)g(x)$, а в случае $ g(x)\ne0$ также $ w_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ имеют производные в точке $ x$, которые выражаются следующими формулами:
$\displaystyle w_1'(x)=(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x);$(4.7)
$\displaystyle w_2'(x)=(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x);$(4.8)
$\displaystyle w_3'(x)=(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x);$(4.9)
$\displaystyle w_4'(x)=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}.$(4.10)

Аналогичные утверждения и формулы имеют место также для односторонних производных $ w_i'(x\pm)$ ($ i=1,2,3,4$).
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

        Доказательство.     Докажем формулу (4.7). Пусть аргументу $ x$ дано приращение $ h$; при этом функция $ f(x)$ получает приращение $ {\Delta}f=f(x+h)-f(x)$, а функция $ g(x)$ -- приращение $ {\Delta}g=g(x+h)-g(x)$. Их сумма $ w_1(x)$ получит тогда приращение

$\displaystyle {\Delta}w_1=(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))=(f(x+h)-f(x))+(g(x+h)-g(x))= {\Delta}f+{\Delta}g.$
Значит,
$\displaystyle w_1'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_1}{h}= \lim_{h\to0}\left(\d... ...m_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}+ \lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}g}{h}=f'(x)+g'(x). $
Совершенно аналогично доказывается формула (4.8).

Докажем теперь формулу (4.9). Пусть снова $ {\Delta}f$ и $ {\Delta}g$ -- приращения функций, соответствующие приращению $ {\Delta}x=h$ аргумента $ x$. Тогда $ f(x+h)=f(x)+{\Delta}f$, $ g(x+h)=g(x)+{\Delta}g$ и приращением произведения будет

\begin{multline*} {\Delta}w_3=f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=(f(x)+{\Delta}f)(g(x)+{\Del... ...-f(x)g(x)=\\ =g(x){\Delta}f+f(x){\Delta}g+{\Delta}f{\Delta}g. \end{multline*}
Поэтому, по свойствам пределов,
\begin{multline*} w_3'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_3}{h}= \lim_{h\to0}\lef... ...\ =f'(x)g(x)+g'(x)f(x)+0\cdot f'(x)g'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x). \end{multline*}
При этом мы вынесли множители $ g(x)$ и $ f(x)$ за знак предела $ \lim\limits_{h\to0}$ как постоянные, не зависящие от переменного $ h$, к которому относится база предела.

Докажем теперь формулу (4.10). Заметим, что

$\displaystyle {\Delta}w_4=\dfrac{f(x)+{\Delta}f}{g(x)+{\Delta}g}-\dfrac{f(x)}{g... ...)(g(x)+{\Delta}g)}= \dfrac{g(x){\Delta}f-f(x){\Delta}g}{g(x)(g(x)+{\Delta}g)}.$
Поэтому, согласно правилам вычисления пределов,

\begin{multline*} w_4'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}w_4}{h}= \lim_{h\to0}\dfrac{... ...}(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))= \dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}. \end{multline*}

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.


При этом мы вынесли за знак предела постоянный (то есть не зависящий от $ h$) множитель $ \dfrac{1}{g(x)}$ и воспользовались тем, что $ {\Delta}g\to0$ при $ h\to0$, что означает непрерывность функции $ g(x)$ в точке $ x$. Но ранее мы доказали, что всякая дифференцируемая в точке $ x$ функция непрерывна в точке $ x$ ( теорема 4.1).     
      

Определение и примеры

 

        Определение 18.1   Пусть $ \mathcal{P}$  -- поле, $ L$  -- некоторое множество, на котором задана операция сложения, обозначаемая знаком "+", и операция умножения на элемент поля $ \mathcal{P}$ , то есть любому элементу $ {\alpha}$ , $ {\alpha}\in\mathcal{P}$ , и любому элементу $ a$ , $ a\in L$ , сопоставляется элемент из множества $ L$ , называемый произведением $ {\alpha}$ на $ a$ и обозначаемый $ {\alpha}a$ . Множество $ L$ называется линейным или векторным пространством над полем $ \mathcal{P}$ , если по отношению к операции сложения множество $ L$ является абелевой группой, и для любых $ {\alpha},\,{\beta}$ из поля $ \mathcal{P}$ и любых $ {a,\,b}$ из множества $ L$ выполнены равенства:
  1. $ ({\alpha}{\beta})a={\alpha}({\beta}a)$ ;
  2. $ {\alpha}(a+b)={\alpha}a+{\alpha}b$ ;
  3. $ ({\alpha}+{\beta})a={\alpha}a+{\beta}a$ ;
  4. $ 1\cdot a=a$ , где 1 -- единица поля $ \mathcal{P}$ .

В дальнейшем в качестве поля $ \mathcal{P}$ используется или поле вещественных чисел, или поле комплексных чисел. В первом случае множество $ L$ называется вещественным линейным пространством, во втором -- комплексным линейным пространством.

Легко проверить, что множество векторов трехмерного простраства является вещественным линейным пространством. Действительно, первые четыре свойства векторов из теоремы 10.1 означают, что векторы образуют абелеву группу по сложению, а последние четыре свойства из той же теоремы соответствуют требованиям 1-4 к операции умножения на элементы поля (в данном случае на вещественные числа).

По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

Другими примерами вещественных линейных пространств могут служить:

  1. множество столбцов $ \left(\begin{array}{r}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{array}\right)$ из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами ;
  2. множество многочленов степени не выше $ n$ с вещественными коэффициентами;
  3. множество всех многочленов с вещественными коэффициентами;
  4. множество функций непрерывных на некотором отрезке $ [a;b]$ .

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды