дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Параболоиды Кривые и поверхности второго порядка

 


        Определение 13.8   Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},$
 

где $ a$ и $ b$ -- положительные числа.         

Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости $ xOz$ , $ yOz$ и координатная ось $ Oz$ .

Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0.$

Это уравнение определяет на плоскости $ xOy$ пару прямых $ {y=\pm\frac bax}$ , изображенных на рисунке 13.23.

Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle z=-\frac{y^2}{b^2}.$

Это уравнение на плоскости $ yOz$ задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью $ xOz$ также является параболой

$\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2},$

но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 13.23).




Рис.13.23.Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями


Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью $ {z=-h}$ , $ h>0$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} -\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=h,\\ z=-h. \end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2h}- \frac{x^2}{b^2h}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{y^2}{b_1^2}-\frac{x^2}{a_1^2}=1,$(13.16)
 


где $ a_1=a\sqrt h$ , $ b_1=b\sqrt h$ . Уравнение (13.16) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси $ Oy$ , а мнимая -- оси $ Ox$ . Полуоси равны соответственно $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 13.24).

Найдем линии пересечения с плоскостями $ x=\pm m$ , параллельными плоскости $ yOz$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} z=\dfrac{m^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2},\\ x=\pm m. \end{array}\right.$

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью $ yOz$ , только сдвинутой вдоль оси $ Oz$ на величину $ \frac{m^2}{a^2}$ вверх. Эти параболы изображены на рисунке 13.24.

Рис.13.24.Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений


Так как $ m$ -- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости $ yOz$ . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости $ yOz$ , а вершина скользила по параболе в плоскости $ xOz$ .

Плоскость $ z=h$ , $ h>0$ , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы (13.16), ее действительная ось параллельна теперь оси $ Ox$ , а мнимая -- оси $ Oy$ (рис. 13.25).

Рис.13.25.Дополнительное сечение


Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.26.

Рис.13.26.Гиперболический параболоид

Определение и примеры

 

        Определение 18.1   Пусть $ \mathcal{P}$  -- поле, $ L$  -- некоторое множество, на котором задана операция сложения, обозначаемая знаком "+", и операция умножения на элемент поля $ \mathcal{P}$ , то есть любому элементу $ {\alpha}$ , $ {\alpha}\in\mathcal{P}$ , и любому элементу $ a$ , $ a\in L$ , сопоставляется элемент из множества $ L$ , называемый произведением $ {\alpha}$ на $ a$ и обозначаемый $ {\alpha}a$ . Множество $ L$ называется линейным или векторным пространством над полем $ \mathcal{P}$ , если по отношению к операции сложения множество $ L$ является абелевой группой, и для любых $ {\alpha},\,{\beta}$ из поля $ \mathcal{P}$ и любых $ {a,\,b}$ из множества $ L$ выполнены равенства:
  1. $ ({\alpha}{\beta})a={\alpha}({\beta}a)$ ;
  2. $ {\alpha}(a+b)={\alpha}a+{\alpha}b$ ;
  3. $ ({\alpha}+{\beta})a={\alpha}a+{\beta}a$ ;
  4. $ 1\cdot a=a$ , где 1 -- единица поля $ \mathcal{P}$ .

В дальнейшем в качестве поля $ \mathcal{P}$ используется или поле вещественных чисел, или поле комплексных чисел. В первом случае множество $ L$ называется вещественным линейным пространством, во втором -- комплексным линейным пространством.

Легко проверить, что множество векторов трехмерного простраства является вещественным линейным пространством. Действительно, первые четыре свойства векторов из теоремы 10.1 означают, что векторы образуют абелеву группу по сложению, а последние четыре свойства из той же теоремы соответствуют требованиям 1-4 к операции умножения на элементы поля (в данном случае на вещественные числа).

По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

Другими примерами вещественных линейных пространств могут служить:

  1. множество столбцов $ \left(\begin{array}{r}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{array}\right)$ из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами ;
  2. множество многочленов степени не выше $ n$ с вещественными коэффициентами;
  3. множество всех многочленов с вещественными коэффициентами;
  4. множество функций непрерывных на некотором отрезке $ [a;b]$ .

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды