дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Гиперболоиды Кривые и поверхности второго порядка


Определение   Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- положительные числа.         

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

Координаты ни одной точки плоскости $ xOy$ не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Это уравнение гиперболы на плоскости $ yOz$ , где действительная полуось равна $ c$ , а мнимая полуось равна $ b$ . Построим эту гиперболу (рис. 13.12).




Рис.13.12.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью $ yOz$


Сечение плоскостью $ xOz$ также является гиперболой, с уравнением

$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.13).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{h^2}{c^2}-1,\\ z=\pm h. \end{array}\right.$

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если $ {\vert h\vert<c}$ . Если $ {h=c}$ или $ {h=-c}$ , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку $ (0;0;c)$ или $ (0;0;-c)$ . Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть $ \vert h\vert>c$ . Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(\frac{h^2}{c^2}-1\right)}+ \frac{y^2}{b^2\left(\frac{h^2}{c^2}-1\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.9)


где $ a_1=a\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$ , $ b_1=b\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$ . Уравнение (13.9) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости $ xOy$ , с коэффициентом подобия $ \sqrt{\frac {h^2}{c^2}-1}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.13).

Рис.13.13.Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений


Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 13.14.


Рис.13.14.Двуполостный гиперболоид


Если в уравнении (13.8) $ {a=b}$ , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис 4.15).

Рис.13.15.Двуполостный гиперболоид вращения

 

Определение и примеры

 

        Определение 18.1   Пусть $ \mathcal{P}$  -- поле, $ L$  -- некоторое множество, на котором задана операция сложения, обозначаемая знаком "+", и операция умножения на элемент поля $ \mathcal{P}$ , то есть любому элементу $ {\alpha}$ , $ {\alpha}\in\mathcal{P}$ , и любому элементу $ a$ , $ a\in L$ , сопоставляется элемент из множества $ L$ , называемый произведением $ {\alpha}$ на $ a$ и обозначаемый $ {\alpha}a$ . Множество $ L$ называется линейным или векторным пространством над полем $ \mathcal{P}$ , если по отношению к операции сложения множество $ L$ является абелевой группой, и для любых $ {\alpha},\,{\beta}$ из поля $ \mathcal{P}$ и любых $ {a,\,b}$ из множества $ L$ выполнены равенства:
  1. $ ({\alpha}{\beta})a={\alpha}({\beta}a)$ ;
  2. $ {\alpha}(a+b)={\alpha}a+{\alpha}b$ ;
  3. $ ({\alpha}+{\beta})a={\alpha}a+{\beta}a$ ;
  4. $ 1\cdot a=a$ , где 1 -- единица поля $ \mathcal{P}$ .

В дальнейшем в качестве поля $ \mathcal{P}$ используется или поле вещественных чисел, или поле комплексных чисел. В первом случае множество $ L$ называется вещественным линейным пространством, во втором -- комплексным линейным пространством.

Легко проверить, что множество векторов трехмерного простраства является вещественным линейным пространством. Действительно, первые четыре свойства векторов из теоремы 10.1 означают, что векторы образуют абелеву группу по сложению, а последние четыре свойства из той же теоремы соответствуют требованиям 1-4 к операции умножения на элементы поля (в данном случае на вещественные числа).

По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

Другими примерами вещественных линейных пространств могут служить:

  1. множество столбцов $ \left(\begin{array}{r}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{array}\right)$ из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами ;
  2. множество многочленов степени не выше $ n$ с вещественными коэффициентами;
  3. множество всех многочленов с вещественными коэффициентами;
  4. множество функций непрерывных на некотором отрезке $ [a;b]$ .

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды