дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Эллипсоид Кривые и поверхности второго порядка


Рис.13.4.Сечения эллипсоида координатными плоскостями


Нарисованный "каркас" из сечений уже дает представление об эллипсоиде. Но чтобы выяснить, как ведет себя поверхность между нарисованными кривыми, рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью $ {z=h}$ . Эта плоскость параллельна плоскости $ xOy$ и пересекает ось $ Oz$ в точке $ h$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1-\dfrac{h^2}{c^2},\\ z=h. \end{array}\right.$

Очевидно, что если $ \vert h\vert>c$ , то ни одна точка пространства не может удовлетворять этой системе: в левой части первого уравнения стоит неотрицательное число, а в правой-- отрицательное.

Если $ \vert h\vert=c$ , то сечении получим лишь одну точку $ (0;0;c)$ или $ (0;0;-c)$ в зависимости от знака $ h$ .

Пусть $ \vert h\vert<c$ . Тогда первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(1-\frac{h^2}{c^2}\right)}+ \frac{y^2}{b^2\left(1-\frac{h^2}{c^2}\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.5)


где $ a_1=a\sqrt{1-\frac{h^2}{c^2}}$ , $ b_1=b\sqrt{1-\frac{h^2}{c^2}}$ . Уравнение(13.5) является уравнением эллипса, подобного эллипсу, задаваемому уравнением(13.4), с коэффициентом подобия $ \sqrt{1-\frac {h^2}{c^2}}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Ясно, что сечение плоскостью $ {z=-h}$ является таким же эллипсом, расположенным симметрично первому относительно плоскости $ xOy$ . Нарисуем эти сечения (рис. 13.5).


Рис.13.5.Дополнительные сечения эллипсоида


Таким образом, весь эллипсоид составлен из эллипсов, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости $ xOy$ и подобных эллипсу в плоскости $ xOy$ . Рисунок 13.6 дает более привычное глазу изображение эллипсоида.




Рис.13.6.Эллипсоид


Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии-- центром эллипсоида. Числа $ a$ , $ b$ , $ c$ называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.

Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если $ {a=b}$ , то все сечения эллипсоида плоскостями $ {z=h}$ , $ \vert h\vert<c$ , будут окружностями. Сам эллипсоид может быть получен из эллипса

$\displaystyle \frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\quad (b=a),$

лежащего в плоскости $ yOz$ , при вращении его вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.7).



Рис.13.7.Эллипсоид вращения

 

Определение и примеры

 

        Определение 18.1   Пусть $ \mathcal{P}$  -- поле, $ L$  -- некоторое множество, на котором задана операция сложения, обозначаемая знаком "+", и операция умножения на элемент поля $ \mathcal{P}$ , то есть любому элементу $ {\alpha}$ , $ {\alpha}\in\mathcal{P}$ , и любому элементу $ a$ , $ a\in L$ , сопоставляется элемент из множества $ L$ , называемый произведением $ {\alpha}$ на $ a$ и обозначаемый $ {\alpha}a$ . Множество $ L$ называется линейным или векторным пространством над полем $ \mathcal{P}$ , если по отношению к операции сложения множество $ L$ является абелевой группой, и для любых $ {\alpha},\,{\beta}$ из поля $ \mathcal{P}$ и любых $ {a,\,b}$ из множества $ L$ выполнены равенства:
  1. $ ({\alpha}{\beta})a={\alpha}({\beta}a)$ ;
  2. $ {\alpha}(a+b)={\alpha}a+{\alpha}b$ ;
  3. $ ({\alpha}+{\beta})a={\alpha}a+{\beta}a$ ;
  4. $ 1\cdot a=a$ , где 1 -- единица поля $ \mathcal{P}$ .

В дальнейшем в качестве поля $ \mathcal{P}$ используется или поле вещественных чисел, или поле комплексных чисел. В первом случае множество $ L$ называется вещественным линейным пространством, во втором -- комплексным линейным пространством.

Легко проверить, что множество векторов трехмерного простраства является вещественным линейным пространством. Действительно, первые четыре свойства векторов из теоремы 10.1 означают, что векторы образуют абелеву группу по сложению, а последние четыре свойства из той же теоремы соответствуют требованиям 1-4 к операции умножения на элементы поля (в данном случае на вещественные числа).

По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

Другими примерами вещественных линейных пространств могут служить:

  1. множество столбцов $ \left(\begin{array}{r}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{array}\right)$ из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами ;
  2. множество многочленов степени не выше $ n$ с вещественными коэффициентами;
  3. множество всех многочленов с вещественными коэффициентами;
  4. множество функций непрерывных на некотором отрезке $ [a;b]$ .

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды