дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Эллипсоид Кривые и поверхности второго порядка

 

Определение 13.3 Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$(13.3)

где $ a$ , $ b$ , $ c$ -- положительные числа.

Исследуем форму эллипсоида. Из уравнения(13.3) видно, что координаты точек поверхности ограничены: $ \vert x\vert\leqslant a$ , $ \vert y\vert\leqslant b$ , $ \vert z\vert\leqslant c$ .

Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Доказывается это так же, как в предложении 12.1.

Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью $ xOy$ . Так как любая точка плоскости $ xOy$ имеет нулевую третью координату, $ {z=0}$ , то координаты точек эллипсоида на плоскости $ xOy$ удовлетворяют уравнению

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$(13.4)


По теореме 12.2 получаем, что линия пересечения является эллипсом с полуосями $ a$ и $ b$ (рис. 13.3).




Рис.13.3.Сечение плоскостью $ xOy$


Аналогично, сечение в плоскости $ yOz$ дает эллипс

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

с полуосями $ b$ и $ c$ , а сечение плоскостью $ xOz$ -- эллипс

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

с полуосями $ a$ и $ c$ (рис. 13.4)

Определение и примеры

 

        Определение 18.1   Пусть $ \mathcal{P}$  -- поле, $ L$  -- некоторое множество, на котором задана операция сложения, обозначаемая знаком "+", и операция умножения на элемент поля $ \mathcal{P}$ , то есть любому элементу $ {\alpha}$ , $ {\alpha}\in\mathcal{P}$ , и любому элементу $ a$ , $ a\in L$ , сопоставляется элемент из множества $ L$ , называемый произведением $ {\alpha}$ на $ a$ и обозначаемый $ {\alpha}a$ . Множество $ L$ называется линейным или векторным пространством над полем $ \mathcal{P}$ , если по отношению к операции сложения множество $ L$ является абелевой группой, и для любых $ {\alpha},\,{\beta}$ из поля $ \mathcal{P}$ и любых $ {a,\,b}$ из множества $ L$ выполнены равенства:
  1. $ ({\alpha}{\beta})a={\alpha}({\beta}a)$ ;
  2. $ {\alpha}(a+b)={\alpha}a+{\alpha}b$ ;
  3. $ ({\alpha}+{\beta})a={\alpha}a+{\beta}a$ ;
  4. $ 1\cdot a=a$ , где 1 -- единица поля $ \mathcal{P}$ .

В дальнейшем в качестве поля $ \mathcal{P}$ используется или поле вещественных чисел, или поле комплексных чисел. В первом случае множество $ L$ называется вещественным линейным пространством, во втором -- комплексным линейным пространством.

Легко проверить, что множество векторов трехмерного простраства является вещественным линейным пространством. Действительно, первые четыре свойства векторов из теоремы 10.1 означают, что векторы образуют абелеву группу по сложению, а последние четыре свойства из той же теоремы соответствуют требованиям 1-4 к операции умножения на элементы поля (в данном случае на вещественные числа).

По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

Другими примерами вещественных линейных пространств могут служить:

  1. множество столбцов $ \left(\begin{array}{r}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{array}\right)$ из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами ;
  2. множество многочленов степени не выше $ n$ с вещественными коэффициентами;
  3. множество всех многочленов с вещественными коэффициентами;
  4. множество функций непрерывных на некотором отрезке $ [a;b]$ .

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды