Кривые и поверхности второго порядка

В этой главе мы рассмотрим поверхности, которые "похожи" на поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг ее оси симметрии. Например, сфера может быть получена вращением окружности вокруг диаметра. Однако, наряду с такими поверхностями мы встретимся и с более сложными случаями.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Определение 13.1 Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

$\displaystyle ax^2+by^2+cz^2+dxy+fxz+gyz+hx+ky+lz+m=0,$

(13.1)

где $a,\,b,\,c,\,d,\,f,\,g,\,h,\,k,\,l,\,m$ -- вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел $a,\,b,\,c,\,d,\,f,\,g$ отлично от нуля.

В дальнейшем будет показано, что поверхности второго порядка, за исключением случаев сильного вырождения, можно разделить на пять классов: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры. Для каждой из поверхностей существует декартова прямоугольная система координат, в которой поверхность задается простым уравнением, называемым каноническим уравнением. Этот факт будет обоснован позже.

В этой главе мы укажем канонические уравнения для поверхностей второго порядка и покажем, как выглядят эти поверхности.

Производная композиции

Пример 4.6 Найдём производную функции $y=\cos^52x$ . Здесь функция имеет вид

, с промежуточным аргументом $u=\cos2x$ , который, в свою очередь, является сложной функцией. Поэтому

$\begin{multline*} y'=5u^4u'_x=5(\cos2x)^4(\cos2x)'_x=5\cos^42x(-\sin2x)(2x)'=\\ =-5\cos^42x\sin2x\cdot2=-10\cos^42x\sin2x. \end{multline*}$

Пример 4.7 Найдём производные ареа-функций (напомним, что ареа-функции -- это функции, обратные к гиперболическим функциям). Ранее мы записали для них следующие формулы:

$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$

$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$

(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции $\mathop{\rm ch}\nolimits$ );

$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};$

$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1}.$

Поэтому

$\begin{multline*} (\mathop{\rm arsh}\nolimits x)'=(\ln(x+\sqrt{x^2+1}))'= \dfr... ...1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \end{multline*}$

и аналогично:

$\begin{multline*} (\mathop{\rm arch}\nolimits x)'=(\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})'= \df... ...{\sqrt{x^2-1}}}{x\pm\sqrt{x^2-1}}= \pm\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}; \end{multline*}$

$\begin{multline*} (\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-... ...dfrac{\dfrac{2}{(1-x)^2}}{\dfrac{1+x}{1-x}}= \dfrac{1}{1-x^2}; \end{multline*}$

и аналогично:

$\begin{multline*} (\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x... ...frac{\dfrac{-2}{(x-1)^2}}{\dfrac{x+1}{x-1}}= \dfrac{1}{1-x^2}. \end{multline*}$

Последние две формулы не противоречат друг другу, так как при $x\in(-1;1)$ , а $(\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$ при $x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$ .

$(\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$

Вычисление интегралов методом Монте-Карло Дифференцирование \| Интегрирование \| Применение интегралов \| Вычисление интегралов \| Неопределенный интеграл \| На главную
Определенные интегралы \| Степенные ряды \| Комплексные числа \| Понятие комплексного числа Матрицы \| Предел функции Функции нескольких переменных и их дифференцирование Направляющие линии и сетка Adobe Illustrator Матрицы и определители

$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$
$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$
(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции $\mathop{\rm ch}\nolimits$ );
$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};$
$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1}.$