дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Окружность Кривые и поверхности второго порядка

 

Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики.

Определение 12.2 Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема 12.1 Окружность радиуса $ R$ с центром в точке $ M_0(x_0;y_0)$ имеет уравнение
$\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$(12.2)

Доказательство. Пусть $ M(x;y)$ -- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние $ MM_0$ равно $ R$ (рис. 12.1)


Рис.12.1.Окружность

По формуле(10.4) для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

$\displaystyle \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=R.$

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение(12.2).

Если в уравнении(12.2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду(12.2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным $ x$ и $ y$ .

Пример 12.1 Нарисуйте кривую $ {x^2+y^2-2x+6y+6=0}$ .

Решение. Выделив полные квадраты, получим
$\displaystyle (x-1)^2+(y+3)^2=2^2.$
Итак, центр окружности -- $ M_0(1;-3)$ , радиус равен 2 (рис. 12.2).



Рис.12.2.Окружность, заданная уравнением $ x^2+y^2-2x+6y+6=0$


Решение задачи закончено.

Производные высших порядков

Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной функции $ f$, или первой производной от $ f$. (Иногда саму исходную функцию $ f$ называют нулевой производной и обозначают тогда $ f^{(0)}$.) Функция $ g_1(x)=f'(x)$, в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках $ x$ интервала $ (a;b)$, которую мы обозначим $ g_1'(x)=f''(x)$ и назовём второй производной функции $ f(x)$. Если предположить, что вторая производная $ g_2(x)=f''(x)$ существует во всех точках $ x\in(a;b)$, то она может также иметь производную $ g_2'(x)=f'''(x)$, называемую третьей производной функции $ f(x)$, и т. д. Вообще, $ n$-й производной функции $ f(x)$ называется производная от предыдущей, $ (n-1)$-й производной $ g_{n-1}(x)=f^{(n-1)}(x)$:

$\displaystyle f^{(n)}(x)=g'_{n-1}(x)=(f^{(n-1)}(x))',$

если эта производная существует. $ n$-я производная называется также производной $ n$-го порядка, а её номер $ n$ называется порядком производной.

При $ n=1;2;3$ первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: $ f'(x),f''(x),f'''(x)$ или $ y',y'',y'''$; при прочих $ n$ -- числом в скобках в верхнем индексе: $ f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),\dots$ или $ y^{(4)},y^{(5)},\dots$.

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная $ f'(x)$ задаёт мгновенную скорость изменения значений $ f(x)$ в момент времени $ x$, то вторая производная, то есть производная от $ f'(x)$, задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений $ f(x)$. Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, $ (f''(x))'=(f'(x))''$).

Геометрический смысл второй производной связан с понятиями выпуклости и кривизны графика функции, и мы обсудим его ниже.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды