дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Непрерывность функций Определение точек разрыва

Дадим теперь определение точек разрыва функции.

        Определение 3.2   Точка $ x_0$ называется точкой разрыва функции $ f(x)$, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки $ x_0$ (то есть определена на некотором интервале, для которого $ x_0$ служит внутренней точкой, но в самой точке $ x_0$, возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1) не существует предела слева $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$;
2) не существует предела справа $ \lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$;
3) пределы слева $ f(x_0-)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$ и справа $ f(x_0+)=\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$ существуют, но не равны друг другу: $ f(x_0-)\ne f(x_0+)$;
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.
4) пределы слева $ f(x_0-)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$ и справа $ f(x_0+)=\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$ существуют и равны друг другу: $ f(x_0-)=f(x_0+)$, но не совпадают со значением функции в точке $ x_0$: $ f(x_0)\ne f(x_0-)=f(x_0+)$, или функция $ f(x)$ не определена в точке $ x_0$.
Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва $ x_0$ называется точкой разрыва первого рода, а поведение функции в окрестности точки $ x_0$ называется разрывом первого рода в точке $ x_0$; в случае 4 точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке -- устранимым разрывом.
Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва $ x_0$ называется точкой разрыва второго рода, а поведение функции в окрестности этой точки -- разрывом второго рода в точке $ x_0$.     

Итак, если функция $ f(x)$ имеет разрыв первого рода в точке $ x_0$, то существуют, как часто говорят, значения функции "на берегах разрыва": $ f(x_0-)$ и $ f(x_0+)$, но точка $ x_0$ не является точкой непрерывности.

Рис.3.2.$ x_0$ -- точка разрыва первого рода

Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке $ x_0$ может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно $ x_0$ будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке $ x_0$, либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию $ f(x)$ в точке $ x_0$, положив $ f(x_0)=f(x_0-)=f(x_0+)$, то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке $ x_0$ и разрыв в точке $ x_0$ исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый.

Рис.3.3.$ x_0$ -- точка устранимого разрыва

Наконец, к разрывам второго рода, как видно из определения, относятся все разрывы, которые не принадлежат к разрывам первого рода; некоторые из возможных способов поведения функции в окрестности точки $ x_0$, где происходит разрыв второго рода, представлены на следующем рисунке.

Рис.3.4.$ x_0$ -- точка разрыва второго рода. Некоторые возможные варианты

  

Производные высших порядков

Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной функции $ f$, или первой производной от $ f$. (Иногда саму исходную функцию $ f$ называют нулевой производной и обозначают тогда $ f^{(0)}$.) Функция $ g_1(x)=f'(x)$, в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках $ x$ интервала $ (a;b)$, которую мы обозначим $ g_1'(x)=f''(x)$ и назовём второй производной функции $ f(x)$. Если предположить, что вторая производная $ g_2(x)=f''(x)$ существует во всех точках $ x\in(a;b)$, то она может также иметь производную $ g_2'(x)=f'''(x)$, называемую третьей производной функции $ f(x)$, и т. д. Вообще, $ n$-й производной функции $ f(x)$ называется производная от предыдущей, $ (n-1)$-й производной $ g_{n-1}(x)=f^{(n-1)}(x)$:

$\displaystyle f^{(n)}(x)=g'_{n-1}(x)=(f^{(n-1)}(x))',$

если эта производная существует. $ n$-я производная называется также производной $ n$-го порядка, а её номер $ n$ называется порядком производной.

При $ n=1;2;3$ первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: $ f'(x),f''(x),f'''(x)$ или $ y',y'',y'''$; при прочих $ n$ -- числом в скобках в верхнем индексе: $ f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),\dots$ или $ y^{(4)},y^{(5)},\dots$.

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная $ f'(x)$ задаёт мгновенную скорость изменения значений $ f(x)$ в момент времени $ x$, то вторая производная, то есть производная от $ f'(x)$, задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений $ f(x)$. Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, $ (f''(x))'=(f'(x))''$).

Геометрический смысл второй производной связан с понятиями выпуклости и кривизны графика функции, и мы обсудим его ниже.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды