дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Определение непрерывности функции


Мы повторим здесь определение непрерывности функции, данное выше, в главе о пределах.

Определение 3.1 Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$
Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ [x_0;b)$, для которого $ x_0$-- левый конец. Функция $ f(x)$ называется непрерывной справа в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0+$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0).$
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.
Пусть, наконец, функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ (a;x_0]$, для которого $ x_0$-- правый конец. Функция $ f(x)$ называется непрерывной слева в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0-$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0).$

Из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (теорема 2.1) сразу следует, как уже отмечалось в главе 2, что имеет место следующее предложение.

Предложение 3.1 Функция $ f(x)$ тогда и только тогда непрерывна в точке $ x_0$, когда она непрерывна в точке $ x_0$ справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:
1) функция $ f(x)$ определена в точке $ x_0$ и в некоторой окрестности этой точки;
2) существует предел значений функции слева: $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0-)$;
3) существует предел значений функции справа: $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0+)$;
4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке $ x_0$: $ f(x_0-)=f(x_0+)=f(x_0)$.

Рис.3.1.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с $ f(x_0)$

Точка $ x_0$, в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности функции $ f(x)$; так же определяются точки непрерывности слева и справа.

Производные высших порядков

Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной функции $ f$, или первой производной от $ f$. (Иногда саму исходную функцию $ f$ называют нулевой производной и обозначают тогда $ f^{(0)}$.) Функция $ g_1(x)=f'(x)$, в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках $ x$ интервала $ (a;b)$, которую мы обозначим $ g_1'(x)=f''(x)$ и назовём второй производной функции $ f(x)$. Если предположить, что вторая производная $ g_2(x)=f''(x)$ существует во всех точках $ x\in(a;b)$, то она может также иметь производную $ g_2'(x)=f'''(x)$, называемую третьей производной функции $ f(x)$, и т. д. Вообще, $ n$-й производной функции $ f(x)$ называется производная от предыдущей, $ (n-1)$-й производной $ g_{n-1}(x)=f^{(n-1)}(x)$:

$\displaystyle f^{(n)}(x)=g'_{n-1}(x)=(f^{(n-1)}(x))',$

если эта производная существует. $ n$-я производная называется также производной $ n$-го порядка, а её номер $ n$ называется порядком производной.

При $ n=1;2;3$ первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: $ f'(x),f''(x),f'''(x)$ или $ y',y'',y'''$; при прочих $ n$ -- числом в скобках в верхнем индексе: $ f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),\dots$ или $ y^{(4)},y^{(5)},\dots$.

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная $ f'(x)$ задаёт мгновенную скорость изменения значений $ f(x)$ в момент времени $ x$, то вторая производная, то есть производная от $ f'(x)$, задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений $ f(x)$. Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, $ (f''(x))'=(f'(x))''$).

Геометрический смысл второй производной связан с понятиями выпуклости и кривизны графика функции, и мы обсудим его ниже.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды