дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Основные задачи на прямую и плоскость Аналитическая геометрия


Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.

Пример 11.6 Найдите точку $ M_1$ , симметричную точке $ M(1;-2;1)$ относительно прямой $ {\gamma}$ :
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$(11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию $ M_0$ точки $ M$ на прямую $ {\gamma}$ (рис 2.14).



Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой


Для этого напишем уравнение плоскости $ \Pi$ , проходящей через точку $ M$ и перпендикулярной прямой $ {\gamma}$ , а затем найдем точку $ M_0$ , являющуюся точкой пересечения плоскости и прямой.
Заметим, что плоскость, перпендикулярная прямой $ {\gamma}$ , параллельна нормальным векторам $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей, соответствующих уравнениям в системе(11.16). Поэтому нормальный вектор n плоскости, перпендикулярной прямой $ {\gamma}$ , можно взять равным $ {\bf n}_1\times {\bf n}_2$ : $ {{\bf n}_1=(1;1;0)}$ , $ {{\bf n}_2=(1;-1;-1)}$ ,
$\displaystyle {\bf n}={\bf n}_1\times {\bf n}_2=\left\vert\begin{array}{rrr}{\b... ...j}&{\bf k}\\ 1&1&0\\ 1&-1&-1\end{array} \right\vert=-{\bf i}+{\bf j}-2{\bf k}.$
Уравнение плоскости $ \Pi$ : $ -(x-1)+(y-(-2))-2(z-1)=0$ , то есть $ {-x+y-2z+5=0}$ .
Находим точку $ M_0$ :
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x+y=1,\\ x-y-z=2,\\ -x+y-2z+5=0.\end{array}\right.$
Решение этой системы: $ x=2$ ; $ y=-1$ ; $ z=1$ , $ M_0(2;-1;1)$ .
Пусть $ M_1(x;y;z)$ -- искомая точка. Тогда из рис. 11.14 видно, что $ {\overrightarrow {MM_1}=2\overrightarrow {MM_0}}$ . Находим $ {\overrightarrow {MM_1}=(x-1;y+2;z-1)}$ , $ {\overrightarrow {MM_0}=(1;1;0)}$ . Тогда
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x-1=2,\\ y+2=2,\\ z-1=0,\end{array}\right.$
откуда $ x=3$ , $ y=0$ , $ z=1$ .
Ответ: $ M_1(3;0;1)$ .

Производные высших порядков

Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной функции $ f$, или первой производной от $ f$. (Иногда саму исходную функцию $ f$ называют нулевой производной и обозначают тогда $ f^{(0)}$.) Функция $ g_1(x)=f'(x)$, в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках $ x$ интервала $ (a;b)$, которую мы обозначим $ g_1'(x)=f''(x)$ и назовём второй производной функции $ f(x)$. Если предположить, что вторая производная $ g_2(x)=f''(x)$ существует во всех точках $ x\in(a;b)$, то она может также иметь производную $ g_2'(x)=f'''(x)$, называемую третьей производной функции $ f(x)$, и т. д. Вообще, $ n$-й производной функции $ f(x)$ называется производная от предыдущей, $ (n-1)$-й производной $ g_{n-1}(x)=f^{(n-1)}(x)$:

$\displaystyle f^{(n)}(x)=g'_{n-1}(x)=(f^{(n-1)}(x))',$

если эта производная существует. $ n$-я производная называется также производной $ n$-го порядка, а её номер $ n$ называется порядком производной.

При $ n=1;2;3$ первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: $ f'(x),f''(x),f'''(x)$ или $ y',y'',y'''$; при прочих $ n$ -- числом в скобках в верхнем индексе: $ f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),\dots$ или $ y^{(4)},y^{(5)},\dots$.

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная $ f'(x)$ задаёт мгновенную скорость изменения значений $ f(x)$ в момент времени $ x$, то вторая производная, то есть производная от $ f'(x)$, задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений $ f(x)$. Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, $ (f''(x))'=(f'(x))''$).

Геометрический смысл второй производной связан с понятиями выпуклости и кривизны графика функции, и мы обсудим его ниже.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды