дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности

Прямая на плоскости

Прямая на плоскости и плоскость в пространстве обладают тем общим свойством, что дополнительная размерность равна единице. Другими словами, что все нормальные векторы к плоскости являются коллинеарными и все нормальные векторы к прямой на плоскости тоже коллинеарны. Отметим, что прямая в пространстве этим свойством не обладает. Нормальные векторы к ней, если их начала поместить в одну точку, "заполняют" целую плоскость. Так как формулы(11.1), (11.3), (11.4), (11.5), (11.6), (11.7) основывались на нормальном векторе к плоскости, то они остаются верными и для прямой на плоскости, если из них исключить третью координату. Доказательство этих формул для прямой на плоскости полностью повторяет их доказательство для плоскости в пространстве.

Например, если прямая имеет уравнение $ Ax+By+C=0$ , то расстояние от точки $ M_0(x_0,y_0)$ до этой прямой получается из формулы(11.7) отбрасыванием третьей координаты $ z$ :

$\displaystyle \rho=\frac{\vert Ax_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}.$
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Кроме перечисленных выше формул для прямой на плоскости стоит отметить еще одну, связанную с тем, что на плоскости чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом $ {y=kx+b}$ , хорошо известное по школьному курсу математики.

Предложение 11.2 Пусть заданы две прямые $ y=k_1x+b_1$ и $ y=k_2x+b_2$ , ($ k_2>k_1$ ). Тогда, если $ k_1k_2\ne-1$ , то угол $ {\varphi}$ между этими прямыми можно найти из формулы
$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}.$(11.10)

Если $ k_1k_2=-1$ , то прямые перпендикулярны.

Доказательство. Как известно из школьного курса математики, угловой коэффициент в уравнении прямой $ {y=kx+b}$ равен тангенсу угла $ {\alpha}$ наклона прямой к оси $ Ox$ . Из рис. 11.10 видно, что $ {{\varphi}={\alpha}_2-{\alpha}_1}$ .




Рис.11.10.Угол между прямыми


Так как $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_1=k_1$ , $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2=k_2$ , то при $ k_1k_2\ne-1$ выполняется равенство

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\mathop{\rm tg}\nolimits ({\al... ...mits {\alpha}_1\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2}= \frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2},$

что дает формулу(11.10).

Если же $ {k_1k_2=-1}$ , то $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_1\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2=-1$ , откуда

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}_1=\mathop{\rm tg}\nolimits \left(\frac{\pi}2+{\alpha}_1\right).$

Следовательно, $ {\alpha}_2=\frac{\pi}2+{\alpha}_1$ и $ {\varphi}={\alpha}_2-{\alpha}_1=\frac{\pi}2$ .

Производные высших порядков

Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной функции $ f$, или первой производной от $ f$. (Иногда саму исходную функцию $ f$ называют нулевой производной и обозначают тогда $ f^{(0)}$.) Функция $ g_1(x)=f'(x)$, в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках $ x$ интервала $ (a;b)$, которую мы обозначим $ g_1'(x)=f''(x)$ и назовём второй производной функции $ f(x)$. Если предположить, что вторая производная $ g_2(x)=f''(x)$ существует во всех точках $ x\in(a;b)$, то она может также иметь производную $ g_2'(x)=f'''(x)$, называемую третьей производной функции $ f(x)$, и т. д. Вообще, $ n$-й производной функции $ f(x)$ называется производная от предыдущей, $ (n-1)$-й производной $ g_{n-1}(x)=f^{(n-1)}(x)$:

$\displaystyle f^{(n)}(x)=g'_{n-1}(x)=(f^{(n-1)}(x))',$

если эта производная существует. $ n$-я производная называется также производной $ n$-го порядка, а её номер $ n$ называется порядком производной.

При $ n=1;2;3$ первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: $ f'(x),f''(x),f'''(x)$ или $ y',y'',y'''$; при прочих $ n$ -- числом в скобках в верхнем индексе: $ f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),\dots$ или $ y^{(4)},y^{(5)},\dots$.

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная $ f'(x)$ задаёт мгновенную скорость изменения значений $ f(x)$ в момент времени $ x$, то вторая производная, то есть производная от $ f'(x)$, задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений $ f(x)$. Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, $ (f''(x))'=(f'(x))''$).

Геометрический смысл второй производной связан с понятиями выпуклости и кривизны графика функции, и мы обсудим его ниже.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды