дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Пределы Сравнение бесконечно малых

Пример 2.36 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}.$
Для этого заметим, что, как мы проверяли выше, $ x^2$-- величина большего порядка малости, чем $ \sin3x$. Аналогично проверяется, что $ 2x^3$-- величина большего порядка малости, чем $ \sin5x$. Поскольку слагаемые большего порядка малости можно отбросить, то
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}.$
Далее, поскольку $ \sin3x$, очевидно, эквивалентен $ 3x$ (согласно первому замечательному пределу), а $ \sin5x$ эквивалентен $ 5x$, то последний предел можно упростить, заменив бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные им, а затем сократить на$ x$:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{5x}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5}.$
При вычислении пределов часто бывают полезны также следующие два утверждения.
Предложение 2.8 Пусть $ {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)$ и $ \psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi_1(x)$. Тогда:
1) $ {\varphi}(x)\psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)\psi_1(x)$
и
2) $ {\varphi}^m(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1^m(x)$ при любом $ m>0$ (в случае, если степень $ z^m$ определена только при $ z\geqslant 0$, нужно потребовать, чтобы выполнялось неравенство $ {\varphi}(x)\geqslant 0$.
(Заметим, что второе утверждение не следует из первого, поскольку $ m$-- не обязательно целое число.)
Доказательство. Первое утверждение означает, согласно определению эквивалентности, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)\psi(x)}{{\varphi}_1(x)\psi_1(x)}=1,$
если известно, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}=1$
и
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{\psi_1(x)}=1.$
Но это сразу следует из теоремы о пределе произведения ( теорема 2.9).
Второе утверждение означает, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}^m(x)}{{\varphi}_1^m(x)}= \lim_{\mathcal{B}}\left(\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\right)^m=1,$
если известно, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}=1.$
Это следует из того, что степенная функция $ g(z)=z^m$ непрерывна при любом $ z=z_0$, если $ m>0$. Как отмечалось выше, для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предела:
$\displaystyle \lim_{z\to z_0}g(z)=g(\lim_{z\to z_0}z)=g(z_0).$
В случае степенной функции $ g(z)=z^m$, сделав замену переменного $ z=z(x)$ и связанную с ней замену базы, мы получим, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}z(x)^m=\left(\lim_{\mathcal{B}}z(x)\right)^m.$
Беря $ z(x)=\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}$, получаем, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\left(\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\righ... ...= \left(\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\right)^m=1^m=1,$
что и требовалось доказать.

 

Приближённое вычисление производных

 

При численном решении задач, связанных с математическими моделями, в которых используются производные (а к таким моделям приводят почти все физические и технические задачи, описывающие процессы, разворачивающиеся во времени), эти производные $ f'(x),f''(x),\dots$ часто приходится вычислять приближённо, исходя только из того, что имеется некоторая процедура, вычисляющая значения функции $ f(x)$, поскольку аналитические формулы, задающие $ f'(x),f''(x),\dots$, неизвестны. Обсудим некоторые методы, позволяющие вычислить производные приближённо по значениям функции $ f(x)$.

Для приближённого нахождения $ f'(x)$ в заданной точке $ x_0$ часто поступают следующим образом. Исходя из того, что при достаточно малых приращениях $ h={\Delta}x$ разностное отношение $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ мало отличается от своего предельного значения, равного производной $ f'(x_0)$, мы можем приближённо заменить $ f'(x_0)$ этим разностным отношением с малым $ h$, полагая $ h$, например, равным $ 0.0001$ или $ 0.00001$. Таким образом, получаем приближённую формулу

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Правая часть этой формулы при $ h>0$ называется разностной производной вправо (или вперёд) с шагом $ h$.

Если же взять отрицательное приращение $ {\Delta}x=-h$, $ h>0$, то аналогично получаем, что

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}.$

Правая часть этой формулы при $ h>0$ называется разностной производной влево (или назад) с шагом $ h$.

Согласно геометрическому смыслу производной, при замене производной $ f'(x_0)$ разностной производной вправо или разностной производной влево, мы заменяем угол $ {\alpha}$ наклона касательной к графику $ y=f(x)$ углом наклона секущей $ M_0N_1$, равным $ {\beta}_1$, или углом наклона секущей $ N_2M_0$, равным $ {\beta}_2$, соответственно (см. следующий чертёж).

Рис.4.11.Касательная и три секущих к графику функции

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды