дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Пределы Сравнение бесконечно малых

Определение 2.16 Пусть фиксирована некоторая база $ \mathcal{B}$ и на некотором её окончании $ E$ заданы две функции $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$, бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$. Предположим также, что $ \psi(x)\ne0$ при всех $ x\in E$. Пусть существует
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L.$
Если $ L\ne0$, то бесконечно малая $ {\varphi}(x)$ имеет тот же порядок малости, что и $ \psi(x)$. Этот факт обозначается так:
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$
Если же $ L=0$, то $ {\varphi}(x)$ имеет больший порядок малости, чем $ \psi(x)$. Это обозначается так:
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$

Заметим, что если $ {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)$, то для всех $ x$ из некоторого окончания $ E'$ базы $ \mathcal{B}$ будет выполнено неравенство $ {\varphi}(x)\ne0$. Это сразу следует из того, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L\ne0.$

Предложение 2.2 Если при базе $ \mathcal{B}$ бесконечно малая $ {\varphi}(x)$ имеет тот же порядок малости, что $ \psi(x)$, то и $ \psi(x)$ имеет тот же порядок малости, что $ {\varphi}(x)$, то есть
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)... ...htarrow \quad\psi(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$(S)
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.
Если две бесконечно малых $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$ одного порядка малости, и две бесконечно малых $ \psi(x)$ и $ \chi(x)$ тоже одного порядка малости при базе $ \mathcal{B}$, то две величины $ {\varphi}(x)$ и $ \chi(x)$ также имеют один и тот же порядок малости при базе $ \mathcal{B}$, то есть
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)... ...htarrow \quad{\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\chi(x).$(T)

Кроме того, бесконечно малая величина $ {\varphi}(x)\ne0$ имеет тот же порядок малости, что она же сама:
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$(R)

Доказательство. Поскольку $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}= \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac {1} {\dfrac{\psi(x)}{{\varphi}(x)}} =L\ne0,$ то $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{{\varphi}(x)}=\dfrac{1}{L}\ne0$, откуда следует первое из доказываемых утверждений.

Второе утверждение следует из первого и цепочки равенств

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\chi(x)}= \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}\dfrac{\psi(x)}{\chi(x)}=L\cdot M\ne0,$

где

$\displaystyle M=\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{\chi(x)}\ne0$

по условию предложения.

Наконец, третье утверждение сразу следует из очевидного соотношения $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}(x)}=1\ne0.$

Итак, свойство двух или нескольких бесконечно малых величин иметь один и тот же порядок малости, то есть отношение $ \mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$, заданное в множестве бесконечно малых при данной базе $ \mathcal{B}$ величин $ {\varphi}(x),\psi(x),\chi(x),\dots$, является рефлексивным, транзитивным и симметричным.

Рефлексивность какого-либо отношения $ \sim$, заданного в некотором множестве объектов $ {\varphi},\psi,\chi,\dots$, означает, что выполнено свойство
(R): $ {\varphi}\sim{\varphi}$,
транзитивность-- что выполнено свойство
(T): $ {\varphi}\sim\psi,\ \psi\sim\chi\quad\Longrightarrow \quad{\varphi}\sim\chi$,
а симметричность-- что выполнено свойство
(S): $ {\varphi}\sim\psi\quad\Longrightarrow \quad\psi\sim{\varphi}$.

Любое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение $ \sim$ разбивает множество объектов, для которых оно определено, на классы объектов, эквивалентных по данному отношению: в один класс с объектом $ {\varphi}$ попадают все объекты $ \psi$, для которых $ \psi\sim{\varphi}$.

Поэтому все бесконечно малые при данной базе $ \mathcal{B}$ величины разбиваются на классы по отношению $ \mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$, в каждый из которых входят все величины, имеющие один и тот же порядок малости.

 

 

Приближённое вычисление производных

 

При численном решении задач, связанных с математическими моделями, в которых используются производные (а к таким моделям приводят почти все физические и технические задачи, описывающие процессы, разворачивающиеся во времени), эти производные $ f'(x),f''(x),\dots$ часто приходится вычислять приближённо, исходя только из того, что имеется некоторая процедура, вычисляющая значения функции $ f(x)$, поскольку аналитические формулы, задающие $ f'(x),f''(x),\dots$, неизвестны. Обсудим некоторые методы, позволяющие вычислить производные приближённо по значениям функции $ f(x)$.

Для приближённого нахождения $ f'(x)$ в заданной точке $ x_0$ часто поступают следующим образом. Исходя из того, что при достаточно малых приращениях $ h={\Delta}x$ разностное отношение $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ мало отличается от своего предельного значения, равного производной $ f'(x_0)$, мы можем приближённо заменить $ f'(x_0)$ этим разностным отношением с малым $ h$, полагая $ h$, например, равным $ 0.0001$ или $ 0.00001$. Таким образом, получаем приближённую формулу

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Правая часть этой формулы при $ h>0$ называется разностной производной вправо (или вперёд) с шагом $ h$.

Если же взять отрицательное приращение $ {\Delta}x=-h$, $ h>0$, то аналогично получаем, что

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}.$

Правая часть этой формулы при $ h>0$ называется разностной производной влево (или назад) с шагом $ h$.

Согласно геометрическому смыслу производной, при замене производной $ f'(x_0)$ разностной производной вправо или разностной производной влево, мы заменяем угол $ {\alpha}$ наклона касательной к графику $ y=f(x)$ углом наклона секущей $ M_0N_1$, равным $ {\beta}_1$, или углом наклона секущей $ N_2M_0$, равным $ {\beta}_2$, соответственно (см. следующий чертёж).

Рис.4.11.Касательная и три секущих к графику функции

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды