дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Угол между плоскостями Линия и плоскость

Пусть плоскости $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ заданы соответственно уравнениями $ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ . Требуется найти угол $ {\varphi}$ между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку $ M$ на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры $ l_1$ и $ l_2$ к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ с началами в точке $ M$ (рис. 11.6).




Рис.11.6.Угол между плоскостями

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Если через точку $ M$ провести плоскость $ \Pi$ , перпендикулярную линии пересечения плоскостей $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ , то прямые $ l_1$ и $ l_2$ и изображения векторов $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости $ \Pi$ (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).




Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый





Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой


В одном варианте (рис. 11.7) $ {{\varphi}+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ и $ {\psi+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ , следовательно, угол $ \psi$ между нормальными векторами равен углу $ {\varphi}$ , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ .

Во втором варианте (рис. 11.8) $ {\gamma}={\varphi}$ , а угол $ \psi$ между нормальными векторами равен $ \pi-{\gamma}$ . Так как

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

$\displaystyle \cos\psi=\cos(\pi-{\gamma})=-\cos{\gamma},$

то в обоих случаях $ {\vert\cos\psi\vert=\cos{\varphi}}$ .

По определению скалярного произведения $ {\bf n}_1{\bf n}_2=\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert \cos\psi$ . Откуда

$\displaystyle \cos\psi=\frac{{\bf n}_1{\bf n}_2}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}$

и соответственно

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{\vert{\bf n}_1{\bf n}_2\vert}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}.$(11.4)


Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула(11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

$\displaystyle {\bf n}_1{\bf n}_2=0.$(11.5)


Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

$\displaystyle {\bf n}_1=t{\bf n}_2,$(11.6)


где $ t$ -- любое число.

 

Приближённое вычисление производных

 

При численном решении задач, связанных с математическими моделями, в которых используются производные (а к таким моделям приводят почти все физические и технические задачи, описывающие процессы, разворачивающиеся во времени), эти производные $ f'(x),f''(x),\dots$ часто приходится вычислять приближённо, исходя только из того, что имеется некоторая процедура, вычисляющая значения функции $ f(x)$, поскольку аналитические формулы, задающие $ f'(x),f''(x),\dots$, неизвестны. Обсудим некоторые методы, позволяющие вычислить производные приближённо по значениям функции $ f(x)$.

Для приближённого нахождения $ f'(x)$ в заданной точке $ x_0$ часто поступают следующим образом. Исходя из того, что при достаточно малых приращениях $ h={\Delta}x$ разностное отношение $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ мало отличается от своего предельного значения, равного производной $ f'(x_0)$, мы можем приближённо заменить $ f'(x_0)$ этим разностным отношением с малым $ h$, полагая $ h$, например, равным $ 0.0001$ или $ 0.00001$. Таким образом, получаем приближённую формулу

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Правая часть этой формулы при $ h>0$ называется разностной производной вправо (или вперёд) с шагом $ h$.

Если же взять отрицательное приращение $ {\Delta}x=-h$, $ h>0$, то аналогично получаем, что

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}.$

Правая часть этой формулы при $ h>0$ называется разностной производной влево (или назад) с шагом $ h$.

Согласно геометрическому смыслу производной, при замене производной $ f'(x_0)$ разностной производной вправо или разностной производной влево, мы заменяем угол $ {\alpha}$ наклона касательной к графику $ y=f(x)$ углом наклона секущей $ M_0N_1$, равным $ {\beta}_1$, или углом наклона секущей $ N_2M_0$, равным $ {\beta}_2$, соответственно (см. следующий чертёж).

Рис.4.11.Касательная и три секущих к графику функции

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды