дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Пределы Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Выше, в примерах 2.17 и 2.23, мы отмечали, что, фактически, при вычислении этих пределов использовали соображения, связанные с непрерывностью функций. Дадим теперь строгое определение непрерывности и обсудим способы вычисления пределов с помощью этого понятия.

        Определение 2.14   Пусть $ x_0$ -- внутренняя точка области определения функции $ f(x)$, то есть функция $ f(x)$ определена при всех $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ ( $ {\delta}>0$), окружающего точку $ x_0$. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
(то есть предполагается, что этот предел существует и равен значению функции в указанной точке).    

Рис.2.34.Функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_0$
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.
        Пример 2.28   При доказательстве теоремы о первом замечательном пределе нами было получено, что $ \lim\limits_{x\to0+}\sin x=0$ (формула (2.3)). Так как $ \sin(-x)=-\sin x$, то с помощью замены $ t=-x$ легко показать, что $ {\lim\limits_{x\to0-}\sin x=0,}$ а из теоремы о связи односторонних и двустороннего пределов отсюда следует, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\sin x=\sin0=0.$
Эта формула означает, что функция $ f(x)=\sin x$ непрерывна в точке $ x_0=0$.
Там же была получена формула (2.4): $ {\lim\limits_{x\to0+}\cos x=1.}$ Пользуясь тем, что $ {\cos(-x)=\cos x}$, и сделав замену $ {t=-x}$, получим, что $ {\lim\limits_{x\to0-}\cos x=1.}$ Поэтому и
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\cos x=\cos0=1.$
Это означает, что функция $ {g(x)=\cos x}$ также непрерывна при $ {x_0=0}$.
Покажем, что функция $ \sin x$ непрерывна при любом $ x_0\in\mathbb{R}$. По определению, для этого нужно доказать, что
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\sin x=\sin x_0.$
Положим $ h=x-x_0$ и заметим, что база $ x\to x_0$ при такой замене переходит в базу $ h\to0$. Далее,
$\displaystyle \sin x=\sin(x_0+h)=\sin x_0\cos h+\cos x_0\sin h.$
Поэтому
\begin{multline*} \lim_{x\to x_0}\sin x=\lim_{h\to0}\sin(x_0+h)= \lim_{h\to0}(... ... x_0\lim_{h\to0}\sin h= \sin x_0\cdot1+\cos x_0\cdot0=\sin x_0 \end{multline*}
(здесь мы воспользовались линейностью предела; $ \sin x_0$ и $ \cos x_0$ были при этом постоянными коэффициентами), что и доказывает непрерывность синуса.
Совершенно аналогично, с использованием формулы
$\displaystyle \cos(x_0+h)=\cos x_0\cos h-\sin x_0\sin h,$
доказывается непрерывность при любом $ x_0$ функции $ \cos x$.
 

 

Приближённое вычисление производных

 

При численном решении задач, связанных с математическими моделями, в которых используются производные (а к таким моделям приводят почти все физические и технические задачи, описывающие процессы, разворачивающиеся во времени), эти производные $ f'(x),f''(x),\dots$ часто приходится вычислять приближённо, исходя только из того, что имеется некоторая процедура, вычисляющая значения функции $ f(x)$, поскольку аналитические формулы, задающие $ f'(x),f''(x),\dots$, неизвестны. Обсудим некоторые методы, позволяющие вычислить производные приближённо по значениям функции $ f(x)$.

Для приближённого нахождения $ f'(x)$ в заданной точке $ x_0$ часто поступают следующим образом. Исходя из того, что при достаточно малых приращениях $ h={\Delta}x$ разностное отношение $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ мало отличается от своего предельного значения, равного производной $ f'(x_0)$, мы можем приближённо заменить $ f'(x_0)$ этим разностным отношением с малым $ h$, полагая $ h$, например, равным $ 0.0001$ или $ 0.00001$. Таким образом, получаем приближённую формулу

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Правая часть этой формулы при $ h>0$ называется разностной производной вправо (или вперёд) с шагом $ h$.

Если же взять отрицательное приращение $ {\Delta}x=-h$, $ h>0$, то аналогично получаем, что

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}.$

Правая часть этой формулы при $ h>0$ называется разностной производной влево (или назад) с шагом $ h$.

Согласно геометрическому смыслу производной, при замене производной $ f'(x_0)$ разностной производной вправо или разностной производной влево, мы заменяем угол $ {\alpha}$ наклона касательной к графику $ y=f(x)$ углом наклона секущей $ M_0N_1$, равным $ {\beta}_1$, или углом наклона секущей $ N_2M_0$, равным $ {\beta}_2$, соответственно (см. следующий чертёж).

Рис.4.11.Касательная и три секущих к графику функции

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды