дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Пределы Первый и второй замечательные пределы

 
        Упражнение 2.6   Покажите, что имеют место также равенства
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
и
$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0-}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$
На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что
$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
и
$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$
    
Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.
        Пример 2.22   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{t}{x})^x$.
Здесь параметр $ t\in\mathbb{R}$ -- фиксированное число. При вычислении предела он будет рассматриваться как постоянная. Сделаем замену $ {\alpha}=\frac{t}{x}$, тогда $ {\alpha}\xrightarrow {x\to\infty}0$ и $ x=\frac{t}{{\alpha}}$. Поэтому
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{t}{x})^x= \lim_{{\alpha}\to0}(1... ...t t}= \left(\lim_{{\alpha}\to0}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}\right)^t=e^t.$
(Здесь мы воспользовались, пока на интуитивном уровне, тем, что степенная функция непрерывна, то есть что $ \lim\limits_{z\to z_0}z^t=z_0^t$. Более подробно понятие непрерывности функций мы будем изучать ниже, в разделе Использование непрерывности функций при вычислении пределов.) Полученная формула даёт нам возможность выразить экспоненциальную функцию $ e^t$ как некоторый предел.     
С помощью похожей замены вычисляются пределы функций вида $ u(x)^{v(x)}$ в случае, когда основание степени $ u(x)$ при некоторой базе стремится к 1, а показатель степени $ v(x)$ -- к бесконечности (то есть является бесконечно большой функцией при данной базе; о бесконечно больших см. ниже, в разделе Бесконечно большие величины и бесконечные пределы). Такие выражения, а также и связанные с ними пределы, называются неопределённостями вида $ [1^{\infty}]$. О неопределённостях других видов пойдёт речь ниже, после примера 2.29.
Обратим внимание читателя, что $ [1^{\infty}]$ -- это лишь условная запись: 1 здесь указывает, что основание степени стремится к 1 (и вовсе не обязательно равно 1); в "показателе степени" стоит вообще не число, а символ бесконечности. Поэтому было бы грубой ошибкой, встретив такую условную запись (или написав её), сделать вывод о том, что единица, мол, в любой степени даёт единицу, и поэтому ответ равен единице. С условными символами в этой записи нельзя действовать так же, как с числами. Предыдущий пример, в котором основание степени $ 1+\frac{t}{x}$ стремится к 1, а показатель степени $ x$ к $ \infty$, даёт как раз неопределённость вида $ [1^{\infty}]$. Однако значение предела равно $ e^t$, а этот результат может быть любым положительным числом, в зависимости от того, какое значение $ t$ взято.
Вот ещё один пример на раскрытие неопределённости вида $ [1^{\infty}]$.
        Пример 2.23
  Найдём предел $ \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}$.
Здесь основание степени имеет предел
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{x+3}= \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}= \dfrac{1+0}{1+0}=1,$
а показатель степени $ 2x+1\xrightarrow {x\to\infty}\infty$. Поэтому можно применять тот же приём сведения ко второму замечательному пределу, что в предыдущем примере. Для начала найдём, что следует взять за бесконечно малую величину $ {\alpha}$. Поскольку основание степени стремится к 1, то оно равно $ 1+{\alpha}$, где $ {\alpha}\to0$ (см.  теорему 2.4). Значит,
$\displaystyle {\alpha}=\dfrac{x+1}{x+3}-1=\dfrac{x+1-x-3}{x+3}=\dfrac{-2}{x+3}.$
Теперь преобразуем функцию, стоящую под знаком предела:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}= \l... ...1+\dfrac{-2}{x+3}\right)^{\frac{x+3}{-2}}\right] ^{\frac{-2}{x+3}\cdot(2x+1)}.$
Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет вид $ (1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}$ и при $ {\alpha}\to0$ стремится к числу $ e$ (это второй замечательный предел), а предел показателя степени мы найдём отдельно:
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{-2(2x+1)}{x+3}= -2\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=-2\cdot\frac{2+0}{1+0}=-4.$
Поэтому
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}=e^{-4}= \dfrac{1}{e^4}.$
(Мы воспользовались тем, что если $ \lim\limits_{\mathcal{B}}u(x)=A>0$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}v(x)=B$, то $ \lim\limits_{\mathcal{B}}(u(x))^{v(x)}=A^B$. Это следует из непрерывности показательной и логарифмической функций, если учесть, что $ u^v=e^{v\ln u}$.)     
        Замечание 2.8   Не любые пределы величин вида $ u(x)^{v(x)}$ вычисляются с помощью сведения ко второму замечательному пределу. Ещё раз напомним, что так надо поступать лишь в случае, когда основание степени $ u(x)$ при данной базе стремится к 1, а показатель степени $ v(x)$ -- к бесконечности. В иных ситуациях можно бывает для вычисления предела обойтись более простыми рассуждениями. Например, при нахождении предела
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x+1}{2x+1}\right)^x$
можно заметить, что основание степени стремится к $ \frac{1}{2}$, так что получается формально $ [(\frac{1}{2})^{+\infty}]$. Это выражение не является неопределённостью (в отличие от выражения $ [1^{\infty}]$), так как основание степени при достаточно больших $ x$ близко к $ \frac{1}{2}$ (и заведомо меньше, скажем, $ \frac{2}{3}$) и при возведении в неограниченно увеличивающуюся степень $ x$ будет меньше $ (\frac{2}{3})^x$ и, следовательно, будет стремиться к 0. Так что
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x+1}{2x+1}\right)^x=0$
и прибегать к помощи второго замечательного предела не пришлось.     
   

Приближённое вычисление производных

 

При численном решении задач, связанных с математическими моделями, в которых используются производные (а к таким моделям приводят почти все физические и технические задачи, описывающие процессы, разворачивающиеся во времени), эти производные $ f'(x),f''(x),\dots$ часто приходится вычислять приближённо, исходя только из того, что имеется некоторая процедура, вычисляющая значения функции $ f(x)$, поскольку аналитические формулы, задающие $ f'(x),f''(x),\dots$, неизвестны. Обсудим некоторые методы, позволяющие вычислить производные приближённо по значениям функции $ f(x)$.

Для приближённого нахождения $ f'(x)$ в заданной точке $ x_0$ часто поступают следующим образом. Исходя из того, что при достаточно малых приращениях $ h={\Delta}x$ разностное отношение $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ мало отличается от своего предельного значения, равного производной $ f'(x_0)$, мы можем приближённо заменить $ f'(x_0)$ этим разностным отношением с малым $ h$, полагая $ h$, например, равным $ 0.0001$ или $ 0.00001$. Таким образом, получаем приближённую формулу

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Правая часть этой формулы при $ h>0$ называется разностной производной вправо (или вперёд) с шагом $ h$.

Если же взять отрицательное приращение $ {\Delta}x=-h$, $ h>0$, то аналогично получаем, что

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}.$

Правая часть этой формулы при $ h>0$ называется разностной производной влево (или назад) с шагом $ h$.

Согласно геометрическому смыслу производной, при замене производной $ f'(x_0)$ разностной производной вправо или разностной производной влево, мы заменяем угол $ {\alpha}$ наклона касательной к графику $ y=f(x)$ углом наклона секущей $ M_0N_1$, равным $ {\beta}_1$, или углом наклона секущей $ N_2M_0$, равным $ {\beta}_2$, соответственно (см. следующий чертёж).

Рис.4.11.Касательная и три секущих к графику функции

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды