дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Пределы Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного. Пусть, например, требуется вычислить

$\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^2x+2\sin x+1}{\sin^2x-\sin x+2}.$

Тогда естественно с целью упрощения сделать замену $ s=\sin x$: при этом функция, от которой берётся предел, упростится и будет иметь вид $ f(s)=\dfrac{s^2+2s+1}{s^2-s+2}$. Однако при этом нужно знать, как изменится база предела: что мы должны написать вместо $ x\to-\frac{\pi}{2}$ под знаком предела от функции $ f(s)$?

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть (например, для упрощения выражения) предлагается сделать некоторую замену $ t={\varphi}(x)$, при этом исходный предел вычислялся при базе $ \mathcal{B}$, состоящей из некоторых окончаний $ E$. Тогда база множеств, которым принадлежит параметр $ t$, будет состоять из образов окончаний $ E$ при отображении их функцией $ {\varphi}(x)$: надо посмотреть, куда перейдёт произвольное окончание старой базы при действии функции $ {\varphi}$. Получится набор множеств $ {\varphi}(\mathcal{B})=\{{\varphi}(E)\}=\mathcal{B}'$, где множества $ {\varphi}(E)$ состоят из всех таких точек $ t$, что $ t={\varphi}(x)$ при некотором $ x\in E$.

Рис.2.12.Преобразование базы $ x\to x_0$ под действием функции $ {\varphi}(x)$
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Теорема 2.2 Пусть $ \mathcal{B}$-- некоторая база и $ {\varphi}(x)$-- некоторая функция, определённая на каком-нибудь окончании базы $ \mathcal{B}$. Тогда множество $ \mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$-- это тоже база.

Доказательство. Во-первых, все множества $ E'={\varphi}(E)$ не пусты, так как не пусты множества $ E$: если $ x\in E$, то $ E'$ содержит, по крайней мере, точку $ {\varphi}(x)$. Осталось показать, во-вторых, что если $ E_1'={\varphi}(E_1)$ и $ E_2'={\varphi}(E_2)$ (где $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$)-- два множества из $ \mathcal{B}'$, то найдётся такое множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$ ( $ E_3\in\mathcal{B}$), что $ E_3'\sbs E_1'\cap E_2'$. Множество $ E_1'\cap E_2'={\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)$, по определению, состоит из всех точек $ {\varphi}(x)$, где $ x\in E_1$ и $ x\in E_2$ одновременно, то есть $ x\in E_1\cap E_2$. Рассмотрим теперь некоторое окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$ (такое окончание найдётся, по определению базы $ \mathcal{B}$) и соответствующее множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$. Тогда все значения $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_3$ будут среди значений $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_2\cap E_3$, то есть $ {\varphi}(E_3)=E_3'\sbs{\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)=E_1'\cap E_2'$, что и требовалось показать.

Иногда получается, что если $ \mathcal{B}$-- одна из знакомых нам рассмотренных выше баз, то и $ {\varphi}(\mathcal{B})=\mathcal{B}'$-- это тоже база известного типа.

 

Кольца Алгебраические структуры

 Пример 16.5   Пусть $ \mathcal{K}$ -- множество, содержащее $ n$ элементов. Чтобы не вводить дополнительные обозначения, будем считать, что эти элементы являются числами 0, 1, 2,..., $ n-1$ .
Обозначим $ {\rm mod}\,(k,n)$ , при $ k\geqslant 0$ , остаток от деления числа $ k$ на число $ n$ . Операцию сложения на множестве $ \mathcal{K}$ определим следующим образом: для любых $ a$ , $ b$ из $ \mathcal{K}$
$\displaystyle a+b={\rm mod}\,(a+b,n),$
где в левой части стоит сложение на множестве $ \mathcal{K}$ , а в правой части под знаком $ ''{\rm mod}\,''$ стоит обычное сложение чисел.
Если взять $ n=5$ , то по новому правилу сложения получим: $ {1+2=3}$ , $ {2+3=0}$ (число 5 делится на 5, остаток равен 0), $ {4+4=3}$ (число 8 при делении на 5 дает в остатке 3).
Операцию умножения на множестве $ \mathcal{K}$ определим аналогично:
$\displaystyle a\cdot b={\rm mod}\,(ab,n),$
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.
где в левой части стоит умножение на множестве $ \mathcal{K}$ , а в правой части, под знаком $ ''{\rm mod}\,''$ стоит обычное произведение чисел.
Если, как и раньше, взять $ {n=5}$ , то по новому правилу умножения получим: $ {2\cdot 2=4}$ , $ {2\cdot 3=1}$ (число 6 делится на 5 с остатком 1), $ {4\cdot 3=2}$ (число 12 делится на 5 с остатком 2).
Можно показать, что множество $ \mathcal{K}$ с введенными таким образом операциями является коммутативным кольцом. Обозначается оно обычно $ \mathbb{Z}_n$ .
Если $ n$ не является простым числом, то в кольце $ \mathbb{Z}_n$ есть делители нуля. Например, в $ \mathbb{Z}_6$ выполнено $ {3\cdot4=0}$ , так как число 12 делится на 6.         

Если в примере 16.1, указанную там операцию назвать сложением и обозначить знаком "+", а умножение определить так:

$\displaystyle aa=a,\quad ab=ba=a,\quad bb=b,$

то получим кольцо $ \mathbb{Z}_2$ . Элемент $ a$ соответствует нулю, а элемент $ b$ соответствует единице.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды