дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Основные обозначения и определения Обратная функция Функции и их графики

Пример 1.22 Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается $ \arccos$ или $ \cos^{-1}$). Это функция, обратная к ограничению функции $ \cos$ на отрезок $ [0;\pi]$ (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):
$\displaystyle \arccos:[-1;1]\to[0;\pi],$
$\displaystyle {\varphi}=\arccos x,$ если $\displaystyle \cos{\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in[0;\pi].$

Рис.1.32.Главная ветвь косинуса
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Пример 1.23 Функция арктангенс (обозначается $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $, или $ \mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}$, или $ \tan^{-1}$)-- это функция, обратная к ограничению функции $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ на интервал $ (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$, то есть обратная к главной ветви тангенса:
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits x=\mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}x,\ x\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$
Так как $ \mathop{\rm tg}\nolimits \vert _{(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})}:(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}$-- это биекция, то обратная функция определена при всех $ x\in\mathbb{R}$:
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits :\mathbb{R}\to(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {\varphi}=\mathop{\rm arctg}\nolimits x,$ если $\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$

Рис.1.33.Главная ветвь тангенса

Упражнение 1.4 Дайте определение функции арккотангенс (обозначается $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $), рассмотрев главную ветвь котангенса-- ограничение функции $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ на интервал $ (0;\pi)$.

Упражнение 1.5 Вспомните или выведите простые соотношения, которым удовлетворяют значения функций:
а) $ \arcsin x$ и $ \arccos x$;
б) $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x$.

График обратной функции $ f^{-1}$ получается из графика исходной функции $ f$, если у каждой точки $ (a;b)$ графика $ {\Gamma}_f$ поменять местами координаты $ a$ и $ b$:

$\displaystyle {\Gamma}_{f^{-1}}=\{(b;a):(a;b)\in{\Gamma}_f\}\sbs B\times A,$

так как $ {\Gamma}_f$ состоит из таких точек $ (a;b)\in A\times B$, что $ b=f(a)$, а $ {\Gamma}_{f^{-1}}$-- из таких точек $ (b;a)\in B\times A$, что $ a=f^{-1}(b)$; но, согласно определению обратной функции, равенства $ b=f(a)$ и $ a=f^{-1}(b)$ эквивалентны.

В случае, когда $ A\sbs\mathbb{R}$, $ B\sbs\mathbb{R}$, перестановка координат $ (a;b)\mapsto(b;a)$ геометрически может быть описана как преобразование симметрии относительно прямой $ b=a$, то есть относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Рис.1.34.Симметричные точки графиков функций $ f$ и $ f^{-1}$

Значит (в случае $ A\sbs\mathbb{R}$, $ B\sbs\mathbb{R}$), графики $ {\Gamma}_f$ и $ {\Gamma}_{f^{-1}}$ симметричны относительно этой биссектрисы, если ось, по которой откладываются значения аргумента функции, каждый раз размещать горизонтально.

Рис.1.35.Графики взаимно обратных функций расположены симметрично

Пример 1.24 Согласно с последним замечанием, мы легко построим теперь графики обратных тригонометрических функций $ \arcsin,\ \arccos,\ \mathop{\rm arctg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $:
Рис.1.36.Графики главной ветви $ \sin$ и $ \arcsin$
Рис.1.37.Графики главной ветви $ \cos$ и $ \arccos$
Рис.1.38.Графики главной ветви $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $
Рис.1.39.Графики главной ветви $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $


 

 

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа


Рис.17.4.Модуль и аргумент


Угол, образованный радиус-вектором числа $ z$ с осью $ Ox$ , называется аргументом числа $ z$ и обозначается $ \arg z$ . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного $ 2\pi$ . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до $ 2\pi$ или в диапазоне от $ -\pi$ до $ \pi$ . Кроме того у числа $ {z=0}$ аргумент не определен.

На рис. 17.4 $ \arg z$ равен углу $ {\varphi}$ . Из того же рисунка очевидно, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\frac ba.$

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

$\displaystyle \arg z=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba$   или$\displaystyle \quad \arg z=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba,$ (17.7)
 


причем первая формула действует, если изображение числа $ z$ находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если $ {a=0}$ , то комплексное число изображается вектором на оси $ Oy$ и его аргумент равен $ \frac{\pi}2$ или $ \frac{3\pi}2$ .

Получим еще одну полезную формулу. Пусть $ {z=a+bi}$ . Тогда $ {\ovl z=a-bi}$ ,

$\displaystyle z\ovl z=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2.$

С учетом формулы (17.6) получим

$\displaystyle z\ovl z=\vert z\vert^2$

или

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{z\ovl z}.$

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды