дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Основные обозначения и определения Обратная функция Функции и их графики

Рассмотрим теперь поподробнее понятие обратной функции, введённое в начале главы.

Если $ f:A\to B$-- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого $ y\in B$ однозначно определен такой элемент $ x\in A$, что $ f(x)=y$. Тем самым однозначно определено соответствие $ y\mapsto x$, называемое обратной функцией по отношению к функции $ f$. Обратная функция для $ f$ обозначается $ f^{-1}$. Таким образом,

$\displaystyle f^{-1}:B\to A,\quad f^{-1}(y)=x\quad\Longleftrightarrow \quad f(x)=y,\ x\in A, y\in B.$

Очевидно, что согласно определению мы имеем тождество $ f^{-1}(f(x))=x$, то есть композиция $ f^{-1}\circ f$-- это тождественное отображение $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A:A\to A$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A(x)=x$ для любого $ x\in A$. Точно так же $ f(f^{-1}(y))=y$, то есть $ f\circ f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B:B\to B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B(y)=y$, если $ y\in B$.

Последнее утверждение означает, что функция, обратная к $ f^{-1}$, равна $ f$: $ (f^{-1})^{-1}=f$, то есть что функции $ f$ и $ f^{-1}$-- это две взаимно обратные функции.

Пример 1.21 Если $ f$-- ограничение функции $ \sin$ на отрезок $ [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ (это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение $ f:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\to[-1;1]$-- биекция.

Рис.1.31.Главная ветвь синуса

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Поэтому существует обратная функция $ f^{-1}$, называемая арксинусом и обозначаемая $ \arcsin$ или $ \sin^{-1}$ (второе обозначение употребляется в англоязычной математической и инженерной литературе). Таким образом,
$\displaystyle \arcsin:[-1;1]\to[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}],$
$\displaystyle {\varphi}=\arcsin x,$ если $\displaystyle \sin{\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$


 

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа


Рис.17.4.Модуль и аргумент


Угол, образованный радиус-вектором числа $ z$ с осью $ Ox$ , называется аргументом числа $ z$ и обозначается $ \arg z$ . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного $ 2\pi$ . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до $ 2\pi$ или в диапазоне от $ -\pi$ до $ \pi$ . Кроме того у числа $ {z=0}$ аргумент не определен.

На рис. 17.4 $ \arg z$ равен углу $ {\varphi}$ . Из того же рисунка очевидно, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\frac ba.$

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

$\displaystyle \arg z=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba$   или$\displaystyle \quad \arg z=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba,$ (17.7)
 


причем первая формула действует, если изображение числа $ z$ находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если $ {a=0}$ , то комплексное число изображается вектором на оси $ Oy$ и его аргумент равен $ \frac{\pi}2$ или $ \frac{3\pi}2$ .

Получим еще одну полезную формулу. Пусть $ {z=a+bi}$ . Тогда $ {\ovl z=a-bi}$ ,

$\displaystyle z\ovl z=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2.$

С учетом формулы (17.6) получим

$\displaystyle z\ovl z=\vert z\vert^2$

или

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{z\ovl z}.$

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды